Sie haben 100m Zaun und wollen damit ein rechteckiges Stück ebenes Land einzäunen. Wie sind die Kantenlängen und des Rechtecks zu wählen, so dass die eingezäunte Fläche maximal wird? Natürlich muss man ein Quadrat wählen; aber begründen Sie anhand eines Funktionsgraphen, dass das Quadrat wirklich die größtmögliche Fläche hat. Und was sind seine Kantenlängen? (ohne Ableitungen lösen)
Lösung:
Weil der Umfang fest ist, gilt . Also ist die Fläche gleich . Die dazugehörige Kurve (Fläche in Abhängigkeit von ) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen und . Der Scheitel der Parabel und damit der maximale Wert ist auf der Mitte dazwischen: . Dann ist wegen des festen Umfangs auch , so dass die Figur (Überraschung!) ein Quadrat wird.
Ein Stadion besteht aus einem Rechteck, an das an zwei gegenüberliegenden Seiten Halbkreise gesetzt sind. Der Umfang der Gesamtfigur beträgt 350m. Welche Abmessungen muss das Rechteck haben, damit sein Flächeninhalt (also das Spielfeld) maximal wird? (ohne Ableitungen lösen)
Lösung:
Sei die Kantenlänge der geraden Längsseite und sei der Durchmesser der beiden Halbkreise links und rechts. Dann ist der Umfang , also . Die Fläche des Spielfelds ist . Der Graph dieser Funktion in Abhängigkeit von ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei und . Der Scheitelpunkt und damit das Maximum liegt auf der Mitte dazwischen, also bei . Der Durchmesser der Halbkreise ist also .
Eine Strecke wird in zwei Teile zerlegt, wobei sich der kleinere Abschnitt zum größerem Abschnitt so verhält wie der größere Abschnitt zur ganzen Strecke. Dieses Teilungsverhältnis nennt man den Goldenen Schnitt. Berechnen sie das Verhältnis.
Wie muss man die Normalparabel verschieben, dehnen, stauchen, drehen oder ..., um die Graphen der folgenden Funktionen zu erhalten?
(Welche sind erlaubt?)
(Welche sind erlaubt?)
Lösung:
um 1 nach unten verschieben
um 3 nach rechts verschieben
von oben auf die Hälfte stauchen
um 3 nach rechts verschieben, von oben auf die Hälfte stauchen und um 1 nach unten verschieben
an der 1. Hauptdiagonalen spiegeln, die untere Hälfte (außer dem Scheitelpunkt) löschen, um 3 nach links verschieben;
an der 1. Hauptdiagonalen spiegeln, die untere Hälfte (außer dem Scheitelpunkt) löschen, von rechts auf die Hälfte stauchen, um nach links verschieben und um 1 nach unten verschieben;