Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 8

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Angeordnete Körper

Definition (Angeordneter Körper)

Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „ $\geq$ “ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

Aus $a \geq b$ folgt $a+c \geq b+c$ (für beliebige $a,b,c \in K$ )
Aus $a \geq 0$ und $b \geq 0$ folgt $ab \geq 0$ (für beliebige $a,b \in K$ )

erfüllt.

Statt $a \geq b$ schreibt man auch $b \leq a$ . Eine wichtige Beziehung in einem angeordneten Körper ist, dass $a \geq b$ äquivalent zu $a-b \geq 0$ ist. Diese Äquivalenz ergibt sich durch beidseitiges Addieren von $- b$ bzw. $b$ aus dem ersten Axiom. In einem angeordneten Körper nennt man ein Element $a \in K$ positiv, wenn $a > 0$ ist, und negativ,^[1] wenn $a < 0$ ist. Die $0$ ist demnach weder positiv noch negativ, und jede Zahl ist entweder positiv oder negativ oder null. Die Elemente $a$ mit $a \geq 0$ nennt man dann einfach nichtnegativ und die Elemente $a$ mit $a \leq 0$ nichtpositiv. Für die entsprechenden Mengen schreibt man

$K_+,\, K_-,\, K_{\geq 0} =K_+^0,\, K_{\leq 0} = K_-^0 \,$

oder Ähnliches. Die wichtigsten Beispiele für angeordnete Körper sind der Körper der rationalen Zahlen $\Q$ und der Körper der reellen Zahlen $\R$ .

Lemma

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

$1 > 0$ ,
Aus $a \geq b$ und $c \geq 0$ folgt $ac \geq bc$ ,
Aus $a \geq b$ und $c \leq 0$ folgt $ac \leq bc$ .

Beweis

Siehe Aufgabe 8.1.

$\Box$

Definition (Intervalle)

Sei $K$ ein angeordneter Körper. Zu $a,b \in K$ , $a \leq b$ , nennt man

$[a,b] = \{ x \in K {{|}} \, x \geq a \text{ und } x \leq b \}$ das abgeschlossene Intervall.

$]a,b[ = \{ x \in K {{|}} \, x > a \text{ und } x < b \}$ das offene Intervall.

$]a,b] = \{ x \in K {{|}} \, x > a \text{ und } x \leq b \}$ das linksseitig offene Intervall.

$[a,b[ = \{ x \in K {{|}} \, x \geq a \text{ und } x < b \}$ das rechtsseitig offene Intervall.

Für das offene Intervall wird häufig auch $(a, b)$ geschrieben. Die Zahlen $a$ und $b$ heißen die Grenzen des Intervalls, genauer spricht man von oberer und unterer Grenze. Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen (die man auch als halboffen bezeichnet) rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Zutreffender (also weniger konventionsverhaftet) wäre es von „größerseitig offen“ und „kleinerseitig offen“ zu sprechen.

Bemerkung

Ein äquivalenter Zugang zum Begriff des angeordneten Körpers funktioniert so: Man hat einen Körper $K$ , bei dem eine Teilmenge $P\subseteq K$ (die „positive Hälfte“) ausgezeichnet ist mit den folgenden Eigenschaften

Entweder $x \in P$ oder $-x \in P$ oder $x = 0$ .
Aus $x,y \in P$ folgt $x+y \in P$ .
Aus $x,y \in P$ folgt $x \cdot y \in P$ .

In einem angeordneten Körper erfüllen die positiven Elemente diese Bedingungen. Man kann aber umgekehrt aus einem Körper mit einer solchen positiven Teilmenge einen angeordneten Körper machen, indem man

$x \geq y \text{ durch } x=y \text{ oder } x-y \in P \,$

definiert, siehe Aufgabe 8.16.

Der Betrag

Definition (Betrag)

In einem angeordneten Körper $K$ ist der Betrag eines Elementes $x \in K$ folgendermaßen definiert.

$\mid\! x\!\mid = \begin{cases} x \text{ falls } x \geq 0 \\ -x \text{ falls } x < 0 \, . \end{cases} \,$

Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei $x = 0$ den Wert $0$ , sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung

$K \longrightarrow K , \, x \longmapsto \mid\! x\!\mid \, ,$

nennt man auch Betragsfunktion. Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch stückweise linear.

Bemerkung

Eine Funktion $f: \R \rightarrow \R$ wird manchmal nicht durch einen einzigen „geschlossenen Ausdruck“ definiert, sondern durch mehrere verschiedene Ausdrücke, die abhängig vom Argument zum Zuge kommen. Typischerweise wird dabei der Definitionsmenge $\R$ (oder eine Teilmenge davon) in paarweise disjunkte Teilmengen $M i$ , $i \in I$ , unterteilt, auf denen dann die Funktion $f$ jeweils durch einen bestimmten funktionalen Ausdruck $\varphi_i$ definiert wird. Es ist also

$f(x)= \varphi_i(x), \text{ falls } x \in M_i \, .$

Da die

M i

eine disjunkte Vereinigung der Definitionsmenge bilden, ist eine solche Funktion wohldefiniert. Zu jedem

x

gibt es genau ein

i

mit $x \in M_i$ , so dass das $\varphi_i$ und damit auch $\varphi_i(x)$ eindeutig bestimmt ist. Man spricht von einer Definition durch Fallunterscheidung, wobei die Fälle eben durch die Bedingung $x \in M_i$ bestimmt sind.

I

ist also die Indexmenge der Fallunterscheidung.

Häufige Spezialfälle davon sind, dass $\R$ in verschiedene Intervalle zerlegt ist, auf denen unterschiedliche Funktionsvorschriften gelten sollen. Wenn es eine endliche Folge von aufsteigenden Zahlen $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$ gibt, so dass auf den dadurch begrenzten Intervallen unterschiedliche Definitionen gelten sollen, so wird das häufig in der Form

$f(x)= \begin{cases} \varphi_0(x) \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, x < a_1 \\ \varphi_1(x) \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, a_1 \leq x < a_2 \\ \varphi_2(x) \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, a_2 \leq x < a_3 \\ \ldots \\ \varphi_{n-1}(x) \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, a_{n-1} \leq x < a_n \\ \varphi_n(x) \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, a_n \leq x \end{cases} \,$

geschrieben. Dabei können auch andere Abschätzungszeichen vorkommen. Wichtig aber ist, dass die durch die Ungleichungen beschriebene Einteilung eine disjunkte Zerlegung liefert. Manchmal werden unkorrekterweise die Einteilungsbedingungen so gewählt, dass eine Intervallgrenze sowohl zum kleineren als auch zum größeren Intervall dazugenommen wird, was dann akzeptabel ist, wenn die beiden konkurrierenden Funktionswerte übereinstimmen.

Wenn man mit einer durch eine Fallunterscheidung gegebenen Funktion arbeitet, wenn man beispielsweise etwas darüber beweisen möchte, muss man die Fallunterscheidung stets „mitschleppen“, d.h. man muss stets mit der gültigen Funktionsdefinition arbeiten. Wenn nicht klar ist, in welchem Intervall sich ein Argument $x$ befindet, über das man eine Aussage machen möchte, so muss man eben die möglichen Fälle getrennt abarbeiten.

Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper.

Dann erfüllt die Betragsfunktion

$K \longrightarrow K , \, x \longmapsto \mid\! x\!\mid \, ,$

folgende Eigenschaften (dabei seien

x, y

beliebige Elemente in

K

).

$\mid\! x\!\mid \geq 0$ .
$\mid\! x\!\mid = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ ist.
$\mid\! x\!\mid =\mid\! y\!\mid$ genau dann, wenn $x = y$ oder $x = - y$ ist.
$\mid\! y-x\!\mid =\mid\! x-y\!\mid$ .
$\mid\! xy\!\mid = \mid\! x\!\mid \mid\! y\!\mid$ .
Für $x \neq 0$ ist $\mid\! x^{-1} \!\mid = \mid\! x\!\mid^{-1}$ .
Es ist $\mid\! x+y\!\mid \leq \mid\! x\!\mid + \mid\! y\!\mid$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).

Beweis

Siehe Aufgabe 8.17.

$\Box$

Bernoulli'sche Ungleichung

In der folgenden Aussage verwenden wir für ein Element $z \in K$ in einem Körper und einer natürlichen Zahl $n\in \N$ die Schreibweisen

$nz=\underbrace{z + \ldots + z}_{n-\text{mal} } \text{ und } z^n=\underbrace{z {\cdots } z}_{n-\text{mal} } \, .$

Satz (Bernoulli Ungleichung)

Sei $K$ ein angeordneter Körper und $n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes $x \in K$ mit $x \geq -1$ die Abschätzung

$(1+x)^n \geq 1 +nx \, .$

Beweis

Wir führen Induktion über $n$ . Bei $n = 0$ steht beidseitig $1$ , so dass die Aussage gilt. Sei nun die Aussage für $n$ bereits bewiesen. Dann ist

$\begin{align} (1+x)^{n+1} & = (1+x)^{n} (1+x) \\ & \geq (1+nx)(1+x) \\ & = 1+(n+1)x + nx^2 \\ & \geq 1+(n+1)x . \, \end{align}$

$\Box$

Archimedisch angeordnete Körper

Wenn man sich wie üblich die reellen Zahlen als Zahlengerade vorstellt, so ist das nächste Axiom selbstverständlich. Es gibt aber auch sehr interessante angeordnete Körper, in denen dieses Axiom nicht gilt; es gilt auch nicht im Rahmen der sogenannten non-standard Analysis. Zur Formulierung dieses Axioms muss man jede natürliche Zahl in einem Körper $K$ interpretieren können. Dies geschieht, indem man einer natürlichen Zahl $n \in \N$ das Körperelement

$n_K= \underbrace{1_K + \ldots + 1_K}_{n-\text{mal} } \,$

zuordnet.

Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)

Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt $K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem $x$ eine natürliche Zahl $n$ gibt mit

$n \geq x \, .$

Diese Eigenschaft ist für negative Elemente stets erfüllt, für positive Elemente handelt es sich aber um eine echte neue Bedingung, die nicht jeder angeordnete Körper erfüllt.

Lemma

Sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu $x,y \in K$ mit $x > 0$ stets ein $n \in \N$ mit $n x > y$ .

Beweis

Wir betrachten $y / x$ . Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein $n$ mit $n \geq y/x$ . Da $x$ positiv ist, gilt auch $nx \geq y$ .

$\Box$

Lemma

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper Es sei $x > 0$ .

Dann gibt es eine natürliche Zahl $n\in \N$ mit $\frac{1}{n} \leq x$ .

Beweis

Es ist $x - 1$ eine wohldefinierte positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl $n \in \N$ mit $n \geq x^{-1}$ . Dies ist äquivalent zu

$\frac{1}{n} = n^{-1} \leq (x^{-1})^{-1} = x \, .$

$\Box$

In der folgenden Aufgabe verwenden wir, dass man zunächst die ganzen Zahlen $\Z$ in einem angeordneten Körper $K$ wiederfindet und dass man dann auch die rationalen Zahlen $\Q$ in $K$ wiederfindet. Die rationale Zahl $n / m$ ist als das Element $n_K \cdot (m_K)^{-1}$ zu interpretieren, siehe auch Aufgabe 8.11.

Lemma

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper

Dann gibt es zwischen je zwei Elementen $x < y$ auch eine rationale Zahl $n / k$ (mit $n\in \Z,\, k \in \N_+$ ) mit

$x < \frac{n}{k} < y \,$

Beweis

Wegen $y > x$ ist $y - x > 0$ und daher gibt es nach Lemma 8.11 ein $k \in \N$ mit $\frac{1}{k} < y-x$ . Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es auch ein $n \in \N$ mit $n \frac{1}{k} > x$ und ein $n' \in \Z _-$ mit $n' \frac{1}{k} \leq x$ . Daher gibt es auch ein $n \in \Z$ derart, dass

$n \frac{1}{k} > x \text{ und } (n-1) \frac{1}{k} \leq x \,$

ist. Damit ist einerseits $x < \frac{n}{k}$ und andererseits

$\frac{n}{k} = \frac{n-1}{k} + \frac{1}{k} < x + y-x = y \,$

wie gewünscht.

$\Box$

In einem archimedisch angeordneten Körper bilden die ganzzahligen Intervalle $[n, n + 1[$ , $n \in \Z$ , eine disjunkte Überdeckung. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition (Gaußklammer)

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Die Gaußklammer ist die Funktion

$[\, ]: K \longrightarrow K , \, x \longmapsto [x] \, ,$

die durch

$[x]=n, \text{ falls } x \in [n,n+1[ \text{ und } n \in \Z \, ,$

definiert wird.

Lemma

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $x > 1$ .

Dann gibt es zu jedem $B \in K$ eine natürliche Zahl $n \in \N$ mit

$x^n \geq B \, .$

Beweis

Wir schreiben $x = 1 + u$ mit $u > 0$ . Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit $nu \geq B-1$ . Damit gilt unter Verwendung von Satz 8.8 die Abschätzung

$x^n = (1+u)^n \geq 1+nu \geq 1+B-1 = B \, .$

$\Box$

Fußnoten

↑ Man beachte, dass hier negativ in einem neuen Sinn auftritt. In jedem Körper $K$ gibt zu jedem Element $x \in K$ das negative Element $- x$ , also das Inverse von $x$ bzgl. der Addition. Das Element $- x$ ist aber nicht in einem absoluten Sinn negativ, sondern nur in Bezug auf $x$ . Dagegen gibt es in einem angeordneten Körper wirklich negative und positive Elemente.

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[0] Man beachte, dass hier negativ in einem neuen Sinn auftritt. In jedem Körper $K$ gibt zu jedem Element $x \in K$ das negative Element $- x$ , also das Inverse von $x$ bzgl. der Addition. Das Element $- x$ ist aber nicht in einem absoluten Sinn negativ, sondern nur in Bezug auf $x$ . Dagegen gibt es in einem angeordneten Körper wirklich negative und positive Elemente.

[1]

Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 8

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Inhaltsverzeichnis

Definition (Angeordneter Körper)

Lemma

Beweis

Definition (Intervalle)

Bemerkung

Definition (Betrag)

Bemerkung

Lemma

Beweis

Satz (Bernoulli Ungleichung)

Beweis

Definition

Lemma

Beweis

Lemma

Beweis

Lemma

Beweis

Definition (Gaußklammer)

Lemma

Beweis

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