Kurs:Vorkurs Mathematik für Physiker

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Vektoren

Vektoren sind Gebilde mit einer Richtung und einem Betrag. Man kann sich Vektoren als Pfeile im Raum vorstellen. Die Richtung des Vektors ist dabei die Richtung des Pfeiles. Der Betrag des Vektors entspricht der Länge des Pfeiles. Dem Betrag des Vekors kann auch eine Masseinheit zugeordnet werden (Beispiel: "gehe fünf Meter in diese Richtung"). Ein Vektor wird oft als Buchstabe mit einem Pfeil geschrieben: \vec a. In der Literatur ist aber eher üblich statt des Pfeiles oberhalb des Buchstabens den Buchstaben fett zu schreiben: a.


[Bearbeiten] Komponeten eines Vektors

Es ist oft sinnvoll einen Vektor in ein Koordinatensystem zu betrachen. Wir wollen hier das kartiesische Koordinatensystem benutzen, da es für die folgenden Überlegungen am besten geeignet ist.

Es seien \vec e_x, \vec e_y, \vec e_z die Einheitsvektoren des Koordinatensystems. Dann läßt sich ein beliebiger Vektor auch so schreiben:

\vec a = a_x \cdot \vec e_x + a_{y} \cdot \vec e_y + a_{z} \cdot \vec e_z

Man nennt ax, ay, az die Komponenten des Vektors. Wenn man von einer bestimmten Komponente spricht (beispielsweise ax) wird die entsprechende Achse mit genannt (beispielsweise x-Komponente).

[Bearbeiten] Betrag eines Vektors

Nehmen wir an die z-Komponente eines Vektor sei Null az = 0. In diesem Fall sieht man sofort, dass mit dem Satz des Pythagoras für die Länge des Vektors folgt |a| = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}}. Das läßt sich auf beliebigen Vektor (d.h. mit nichtverschwindender z-Komponente) verallgemeinern zu

a := |a| = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}

[Bearbeiten] Richtung eines Vektors

Teilt man einen Vektor durch seinen Betrag erhaelt man die Richtung des Vektors, d.h. einen Vektor der Laenge Eins in Richtung des Vektors.

\frac{\vec a}{|a|} =: \vec e_{a}

Klarer Weise ist

\vec a = a \cdot \vec e_{a}

[Bearbeiten] Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist definiert als

\vec a \cdot \vec b = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}

Wie man unschwer erkennt ist das Skalarprodukt kein Vektor sondern ein Skaral (daher auch der Name). Nehmen wir an, der Vektor \vec b sei in Richtung des Einheitsvektors der positiven x-Achse und habe den Betrag 2: \vec b = 2 \cdot \vec e_{x}. Dann folgt

\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec e_{x} = a_{x} \cdot 2 + a_{y} \cdot 0 + a_{z} \cdot 0 = 2 \cdot a_{x}

Somit ist in diesem Fall das Skalarprodukt das gleiche wie das Produkt aus dem Betrag des Vektors \vec b mit der Projektion des Vektors \vec a auf die Richtung von \vec b. Mit anderen Worten: Skalarprodukt = projeziere \vec a auf Richtung von \vec b und multipliziere mit b.

Demnach kann man das Skalarprodukt auch wie folgt schreiben:

\vec a \cdot \vec b = a \cdot b \cdot \cos (\alpha),

dabei ist α der Winkel zwischen \vec a und \vec b.

[Bearbeiten] Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist definiert als

\vec a \times \vec b = \sum \varepsilon _{ijk} a_{i} b_{j} \vec e_{k}

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