Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 3/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und man gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Die Beschreibungsseite des folgenden Bildes behauptet, etwas mit dem euklidischen Algorithmus zu tun zu haben. Erläutere dies. Welche Eigenschaften des euklidischen Algorithmus sind in dem Bild sichtbar? Beweise diese Eigenschaften des Algorithmus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über -, - und -Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme in den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass im Polynomring nicht das Lemma von Bezout gilt.
Aufgabe Aufgabe 3.14 ändern
Es sei ein kommutativer Ring und sei
eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass in einem Hauptidealbereich zu beliebigen Elementen sowohl ein größter gemeinsame Teiler als auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existieren. Wie kann man sie berechnen, wenn die Primfaktorzerlegungen der Elemente bekannt sind?
Für lässt sich die Existenz einer Zerlegung in Primzahlen, also in irreduzible Elemente, einfach direkt zeigen.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde einen Primfaktor der Zahl .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte mit stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man gebe zwei Primfaktoren von an.
Aufgabe Aufgabe 3.21 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien . Zeige, dass
genau dann gilt, wenn
ist oder wenn und ist (oder umgekehrt).
Aufgabe Aufgabe 3.23 ändern
Es sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde einen Primfaktor der Zahl .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
In der folgenden Aufgabe wird der Logarithmus verwendet.
Aufgabe (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die reellen Zahlen als -Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Bleibt das Ergebnis gültig, wenn man den natürlichen Logarithmus durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt?
Aufgabe (3 (2+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei .
a) Finde aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ), die alle nicht prim sind.
b) Finde unendlich viele solcher primfreien -„Intervalle“.
Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Zu einer natürlichen Zahl bezeiche die Anzahl der positiven Teiler von . Zeige die folgenden Aussagen über .
a) Sei die Primfaktorzerlegung von . Dann ist
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} T(n) = (r_1+1) (r_2+1) \cdots (r_k+1) \, . }
b) Für teilerfremde Zahlen und gilt .
c) Bestimme die Anzahl der Teiler von .
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