Lemma Integralmittelwert

Lemma

Sei $f\in C({\mathbb {R} }^{n})$ eine stetige Funktion. Für alle $x\in {\mathbb {R} }^{n}$ gilt:

$${\frac {1}{|B_{\epsilon }(x)|}}\int _{B_{\epsilon }(x)}f(y)dy\to f(x)\ \ {\mbox{für}}\ \epsilon \to 0.$$

Hierbei ist $B_{\epsilon }(x)$ die offene Kugel im ${\mathbb {R} }^{n}$ mit Radius $\epsilon$ um x und $|B_{\epsilon }(x)|$ das zugehörige Volumen dieser Kugel.
Beweisidee: ${\frac {1}{|B_{\epsilon }(x)|}}\int _{B_{\epsilon }(x)}1\ dy=1$. Ziehen Sie f(x).1 von der linken Seite ab verwenden Sie die Abschätzung ${\Big |}\int ...\ dy{\Big |}\leq \int |...|\ dy$ und die Stetigkeit von f.