Zuerst soll man sich klar machen, welche Ordnung auf
berücksichtigt wird. Diese ist keine lexikographische Ordnung, die in
Aufgabe
betrachtet wurde. Für die lexikographische Ordnung ist die Aussage des Lemmas von Dickson ganz trivial (wieso?) und nicht nützlich. Die Ordnung auf
, die wir hier betrachten, ist die Produktordnung
(das ist auch die Ordnung in
Beispiel,
wenn man dort
-
![{\displaystyle {}X=\{1,\ldots ,r\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a3442e1a9c73c45d835105d3b04858dd8cfd06)
und
statt
nimmt):
Für
definiert man
, wenn
-
Diese ist klar eine Ordnung auf
, jedoch keine totale Ordnung für
. Eine Motivation für die Produktordnung kommt aus der Teilbarkeitsrelation innerhalb eines Polynomrings: das Mononom
teilt das Mononom
genau dann, wenn
.
Aus dem Induktionsprinzip folgt, dass die natürlichen Zahlen wohlgeordnet sind, d.h. jede nichtleere Teilmenge
besitzt ein kleinstes Element
(siehe
Fakt).
Also gilt das Lemma von Dickson für
. Für
ist es eine natürliche Idee, Induktion über
zu verwenden. Der Einfachheit halber betrachten wir nur den Fall
. Es empfiehlt sich, die Sache geometrisch in der Ebene
vorzustellen. Die minimalen Elemente von
sind dann die Randpunkte mit ganzzahligen Koordinaten, wenn man
reell auffüllt (die konvexe Hülle nimmt). Die Aussage ist dann, dass es nur endlich viele solche Randpunkte gibt.
Wäre das Lemma falsch, würde eine Teilmenge
existieren, die unendlich viele minimale Elemente
-
besitzt. Die Minimalität der Elemente
bedeutet, dass man nicht
und
für
vergleichen kann. Also gilt entweder
und
oder
und
. Um die Induktionsvoraussetzung anzuwenden, betrachtet man die Mengen
-
Da
wohlgeordnet ist, besitzt
ein kleinstes Element, das man ohne Einschränkung als
annehmen kann. Dann ist es klar, dass
das größte Element von
ist. Nun betrachtet man die Mengen
-
Wie oben kann man annehmen, dass
das kleinste Element von
ist. Dies folgt, dass
das größte Element von
ist. Wenn man diesen Prozess fortsetzt, kann man davon ausgehen, dass
-
Die zweite Bedingung impliziert jedoch, dass die Menge
kein kleinstes Element besitzt, ein Widerspruch.
Das Lemma von Dickson spielt eine Rolle beim Beweis des Hilbertschen Basissatzes, der besagt, dass der Polynomring
![{\displaystyle {}k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ea16d09ede9f21fe16ce4ae192ad6f739cae67)
über einem Körper
![{\displaystyle {}k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c9fdad86d9ba226a50ec2643c0ffdeca0633e9)
noethersch ist, d.h. jedes Ideal von
![{\displaystyle {}k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ea16d09ede9f21fe16ce4ae192ad6f739cae67)
ein endliches Erzeugendensystem besitzt.