Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt

Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
2. Die Abbildung ${}\varphi$ wird bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben.
3. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen