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Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei eine Menge, ein Präring auf und

    ein äußeres Maß auf . Dann ist die Fortsetzung des äußeren Maßes ein äußeres Maß auf der Potenzmenge

    , das auf mit übereinstimmt.
  2. Es sei ein Messraum und sei

    eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

    Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen

    die punktweise gegen

    konvergieren.
  3. Es sei ein kompakter topologischer Raum und , versehen mit der Maximumsnorm. Dann ist genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
    1. ist abgeschlossen.
    2. ist gleichgradig stetig.
    3. Für jeden Punkt ist das Auswertungsbild beschränkt.