Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Legendre-Polynome/Einführung/Textabschnitt

Definition

Unter dem ${}n$-ten Legendre-Polynom ${}P_{n}(t)$ versteht man das Polynom

${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}.$

Die ersten sechs Legendre-Polynome im für die Orthogonalitsärelation entscheidenden Intervall ${}[-1,1]$.

Aus der Definition ist ablesbar, dass das ${}n$-te Legendre-Polynom den Grad ${}n$ besitzt. Die ersten Legendre-Polynome lauten.

${}P_{0}(t)=1\,,$

${}P_{1}(t)=t\,,$

${}P_{2}(t)={\frac {1}{2}}{\left(3t^{2}-1\right)}\,,$

${}P_{3}(t)={\frac {1}{2}}{\left(5t^{3}-3t\right)}\,,$

${}P_{4}(t)={\frac {1}{8}}{\left(35t^{4}-30t^{2}+3\right)}\,,$

${}P_{5}(t)={\frac {1}{8}}{\left(63t^{5}-70t^{3}+15t\right)}\,,$

${}P_{6}(t)={\frac {1}{16}}{\left(231t^{6}-315t^{4}+105t^{2}-5\right)}\,.$

Satz

Die Legendre-Polynome ${}P_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$,

bilden ein Orthogonalsystem in ${}L^{2}([-1,1])$. Die normierten (im Sinne der ${}L^{2}$-Norm) Legendre-Polynome ${}{\frac {\sqrt {2n+1}}{\sqrt {2}}}P_{n}$ entstehen aus den Potenzen ${}t^{0},t^{1},t^{2}$ mit dem Orthonormalisierungsverfahren und bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

Beweis

Wir schreiben

${}f_{n}={\left(t^{2}-1\right)}^{n}\,,$

es ist also

${}P_{n}={\frac {f_{n}^{(n)}}{2^{n}(n!)}}\,.$

Für ${}n\geq m,1$ ergibt sich mit iterierter partieller Integration und da ${}f_{n}^{(n-k)}$ für ${}k\geq 1$ den Faktor ${}t^{2}-1$ enthält

${}{\begin{aligned}2^{n}(n!)\left\langle t^{m},P_{n}\right\rangle &=\left\langle t^{m},f_{n}^{(n)}\right\rangle \\&=\int _{-1}^{1}t^{m}f_{n}^{(n)}(t)dt\\&=\left(t^{m}f_{n}^{(n-1)}(t)\right)|_{-1}^{1}-m\int _{-1}^{1}t^{m-1}f_{n}^{(n-1)}(t)dt\\&=-m\int _{-1}^{1}t^{m-1}f_{n}^{(n-1)}(t)dt\\&=(-1)^{2}m(m-1)\int _{-1}^{1}t^{m-2}f_{n}^{(n-2)}(t)dt\\&=\ldots \\&=(-1)^{m}(m!)\int _{-1}^{1}f_{n}^{(n-m)}(t)dt.\end{aligned}}$

Bei ${}m<n$ ist dies gleich ${}0$, da ${}f_{n}^{(n-m-1)}(t)$ eine Stammfunktion von ${}f_{n}^{(n-m)}(t)$ ist und den Faktor ${}(t-1)^{2}$ enthält. Es liegt also ein Orthogonalsystem vor.

Bei ${}m=n$ ist der Ausdruck nach Aufgabe gleich

${}{\begin{aligned}(-1)^{n}(n!)\int _{-1}^{1}f_{n}(t)dt&=(-1)^{n}(n!)(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&=2\cdot {\frac {2^{n}(n!)^{2}}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}.\end{aligned}}$

Somit ist insbesondere

${}\left\langle t^{n},P_{n}\right\rangle =2\cdot {\frac {n!}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\,$

und daher ist unter Verwendung der bewiesenen Orthogonalitätsrelation und von Aufgabe

${}{\begin{aligned}\left\langle P_{n},P_{n}\right\rangle &=\left\langle {\frac {(2n)\cdots (n+1)}{2^{n}(n!)}}t^{n},P_{n}\right\rangle \\&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left\langle t^{n},P_{n}\right\rangle \\&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\cdot 2\cdot {\frac {n!}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&={\frac {(2n)!}{2^{n}\cdot (n!)\cdot (2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\cdot {\frac {2}{2n+1}}\\&={\frac {2}{2n+1}}.\end{aligned}}$

Somit bilden die ${}{\frac {\sqrt {2n+1}}{\sqrt {2}}}P_{n}$ ein Orthonormalsystem. Wegen

${}\langle t^{0},t^{1},\ldots ,t^{n}\rangle =\langle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle \,$

und da die Leitkoeffizienten der ${}P_{n}$ positiv ist, ergeben sich die normierten Legendre-Polynomen auch beim Orthonormalisierungsverfahren. Die Vollständigkeit ergibt sich aus Fakt und aus dem Weierstrassschen Approximationssatz.

$\Box$