Menge/Funktionen/Supremumsnorm/Motivation/Beispiel

Zu einer Menge ${}M$ kann man den reellen Vektorraum ${}V$ aller Funktionen ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ betrachten. Ein wichtiger Konvergenzbegriff ist die punktweise Konvergenz. Wenn man den Untervektorraum der beschränkten reellwertigen Funktionen betrachtet, so kann man diesen Untervektorraum mit der Supremumsnorm versehen, die durch

${}\Vert {f}\Vert ={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert ,x\in M)}\,$

definiert ist. Die Konvergenz einer Funktionenfolge bezüglich der Supremumsnorm bedeutet dann die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge, siehe Aufgabe. Diese Konvergenz ist stärker als die punktweise Konvergenz.

Die konstanten Funktionen und die Funktionen mit nur endlich vielen Werten

(bzw. die einfachen Funktionen im Falle eines Messraumes) bilden besonders einfache Untervektorräume des Funktionenraumes zu ${}M$. Wenn ${}M$ ein topologischer Raum ist, so kann man die Untervektorräume der stetigen Funktionen oder der stetigen beschränkten Funktionen betrachten. Wenn ${}M$ ein Maßraum ist, so kann man den Untervektorraum der messbaren oder den Untervektorraum der integrierbaren Funktionen betrachten. In all diesen Situationen kann man Approximamtionseigenschaften und Konvergenzfragen untersuchen. Resultate in diese Richtung sind Fakt, Fakt, Fakt.