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Metrischer Raum/Teilmenge/Total beschränkt/Abschluss/Aufgabe/Lösung

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Sei gegeben. Zu gibt es wegen der totalen Beschränktheit von endlich viele Punkte mit

Wir behaupten

Zu einem Punkt gibt es eine Folge , die gegen konvergiert. Daher gibt es insbesondere ein mit

Wegen gibt es einen Punkt mit . Daher ist

also

.