Beweis
Wir betrachten die natürlichen Abbildungen
-
von
Fakt.
Für
ist dies ein Isomorphismus. Daraus folgt nach
Fakt (3)
und
Fakt,
dass auch für
freie Moduln
endlichen Ranges ein Isomorphismus vorliegt. Einen beliebigen endlich erzeugten Modul
kann man in der Form
-
repräsentieren, wobei
freie Moduln endlichen Ranges sind. Daraus erhalten wir mit Hilfe von
Fakt
bzw.
Fakt
die exakten Zeilen im folgenden Diagramm
-
Es ist zu zeigen, dass die vertikale Abbildung rechts bijektiv ist. Zum Nachweis der Surjektivität sei
. Dieses rührt von einem
her und dieses entspricht einem
. Dessen Bild in
wird dann wegen der Kommutativität auf
abgebildet.
Zum Nachweis der Injektivität sei
ein Element, das auf
abgebildet wird.
Es gibt ein
, das auf
abbildet. Dieses
entspricht einem
. Da dieses auf
abbildet, gibt es ein
, das auf
abbildet. Das entsprechende Element
bildet auf
ab und daher muss dieses auf
abbilden, also ist
und die Abbildung ist injektiv.