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Noetherscher Ring/Komplettierung/Modul/Tensorierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten die natürlichen Abbildungen

von Fakt. Für ist dies ein Isomorphismus. Daraus folgt nach Fakt  (3) und Fakt, dass auch für freie Moduln endlichen Ranges ein Isomorphismus vorliegt. Einen beliebigen endlich erzeugten Modul kann man in der Form

repräsentieren, wobei freie Moduln endlichen Ranges sind. Daraus erhalten wir mit Hilfe von Fakt bzw. Fakt die exakten Zeilen im folgenden Diagramm

Es ist zu zeigen, dass die vertikale Abbildung rechts bijektiv ist. Zum Nachweis der Surjektivität sei . Dieses rührt von einem her und dieses entspricht einem . Dessen Bild in wird dann wegen der Kommutativität auf abgebildet.

Zum Nachweis der Injektivität sei ein Element, das auf abgebildet wird. Es gibt ein , das auf abbildet. Dieses entspricht einem . Da dieses auf abbildet, gibt es ein , das auf abbildet. Das entsprechende Element bildet auf ab und daher muss dieses auf abbilden, also ist und die Abbildung ist injektiv.