Noethersches Schema/Quasikohärente Garbe/Invertierbare Garbe/Invertierbarkeitsort/Globale Ausdehnung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine endliche offene affine Überdeckung derart, dass die Einschränkungen von ${}{\mathcal {L}}$ auf die ${}U_{i}$ trivial sind. Wir betrachten die Situation

${}V_{i}=X_{g}\cap U_{i}\subseteq U_{i}\,,$

hier ist also ${}V_{i}$ eine offene Teilmenge des affinen Schemas ${}U_{i}=\operatorname {Spek} {\left(R_{i}\right)}$. Es ist

${}{\mathcal {M}}{|}_{U_{i}}={\widetilde {M}}_{i}\,$

mit einem ${}R_{i}$-Modul ${}M_{i}$. Unter dem Isomorphismus ${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}\cong {\mathcal {O}}_{U_{i}}$ entspricht die Einschränkung von ${}g$ auf ${}U_{i}$ einer Funktion ${}f_{i}\in R_{i}$ und für den Invertierbarkeitsort gilt ${}X_{g}\cap U_{i}=D(f_{i})$. Somit ist

${}\Gamma {\left(V_{i},{\mathcal {M}}\right)}\cong (M_{i})_{f_{i}}\,.$

1. Sei ${}r_{i}=r{|}_{U_{i}}\in M_{i}$. Die Einschränkung davon auf ${}V_{i}$ ist nach Voraussetzung gleich ${}0$ und daher gibt es ein ${}n_{i}\in \mathbb {N}$ mit

   ${}f_{i}^{m_{i}}r_{i}=0\,$

   in ${}M_{i}$, und dies gilt auch für alle größeren Exponenten. Übersetzt nach ${}{\mathcal {L}}^{m_{i}}\otimes {\mathcal {M}}$ bedeutet dies, dass das globale Element ${}g^{m_{i}}r$ eingeschränkt auf ${}U_{i}$ gleich ${}0$ ist. Somit erhalten wir mit ${}m={\max {\left(m_{i},i\in I\right)}}$ ein ${}m$ derart, dass ${}g^{m}r$ auf sämtlichen ${}U_{i}$ gleich ${}0$ wird. Aufgrund der Garbeneigenschaft ist dann ${}g^{m}r$ gleich ${}0$ auf ${}X$.

2. Der vorgegebene Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X_{g},{\mathcal {M}}\right)}$ liefert durch Einschränkung Schnitte

   ${}s_{i}\in \Gamma {\left(V_{i},{\mathcal {M}}\right)}=\Gamma {\left(D(f_{i}),M_{i}\right)}={\left(M_{i}\right)}_{f_{i}}\,.$

   Es ist also ${}s_{i}={\frac {t_{i}}{f_{i}^{\ell _{i}}}}$ mit ${}t_{i}\in M_{i}$. Dabei kann man die ${}\ell _{i}$ erhöhen, so dass wir annehmen können, dass eine solche Darstellung für jedes ${}i$ mit einem gemeinsamen ${}\ell$ vorliegt. Dies bedeutet, dass die Einschränkungen von ${}g^{\ell }s\in \Gamma {\left(X_{g},{\mathcal {L}}^{\ell }\otimes {\mathcal {M}}\right)}$ auf ${}X_{g}\cap U_{i}$ jeweils von einem Element

   ${}t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {L}}^{\ell }\otimes {\mathcal {M}}\right)}\,$

   herrühren. Die ${}t_{i}$ sind im Allgemeinen nicht verträglich. Es ist aber die Einschränkung von ${}t_{i}-t_{j}$ auf ${}X_{g}\cap U_{i}\cap U_{j}$ gleich ${}0$. Nach dem ersten Teil, angewendet auf ${}X_{g}\cap U_{i}\cap U_{j}\subseteq U_{i}\cap U_{j}$, ergibt sich, dass es ein ${}m_{ij}$ derart gibt, dass ${}g^{m_{ij}}(t_{i}-t_{j})$ gleich ${}0$ in ${}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {L}}^{\ell +m_{ij}}\otimes {\mathcal {M}}\right)}$ ist. Wir multiplizieren die Situation mit ${}g^{m}$, wobei ${}m$ das Maximum aller ${}m_{ij}$ ist, und erhalten dann die Verträglichkeit und somit mit ${}n=\ell +m$ die Existenz einer globalen Fortsetzung von ${}g^{n}s$.

Zur bewiesenen Aussage