Bei
liegt eine Nullstelle vor. Auf
sind beide Summanden positiv, und für
ist
, so dass, da
zwischen
und
liegt, jenseits von
keine Nullstelle liegen kann. Für
ist wiederum
, so dass unterhalb von
auch keine Nullstelle liegen kann. Für das Intervall
ziehen wir die Ableitung heran. Es ist
-
![{\displaystyle {}f'(x)=2x+\cos x\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ac9902f5cdda88c3d154a29a9ad96b9d1e8ce7)
Beide Funktion sind in diesem Intervall streng wachsend, daher ist die Ableitung streng wachsend und besitzt auf
![{\displaystyle {}]{-1},0[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f56fa061e8429adf7fd488beb39b4946dc2ce06)
höchstens eine Nullstelle. Es ist
![{\displaystyle {}f'(0)=1>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ab434e7bd79d6bea91967fd2d3b4b212f6f999)
, so dass im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen kann. Daher muss die Funktion auf
![{\displaystyle {}]{-1},0[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f56fa061e8429adf7fd488beb39b4946dc2ce06)
auch negative Werte annehmen. Wegen
![{\displaystyle {}f(-1)=1+\sin \left(-1\right)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b58e46bd21a5faaf93ccd4f6a5584721ca6eb86)
muss
![{\displaystyle {}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d898a4aa67d3184ece545a662f5c63925507e0)
nach dem Zwischenwertsatz in
![{\displaystyle {}]{-1},0[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f56fa061e8429adf7fd488beb39b4946dc2ce06)
mindestens eine weitere Nullstelle besitzen. Wenn es zwei Nullstellen
![{\displaystyle {}{-1}<c<d<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d40b5104216bf9b396a17bda36c1ea16721f62a)
geben würde, so hätte nach dem Satz von Rolle die Ableitung sowohl auf
![{\displaystyle {}]c,d[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35059642bb33b76373400c648e5333571c7b3c96)
als auch auf
![{\displaystyle {}]d,0[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74bca9295185b09573aa325eda596174eaab37d5)
eine Nullstelle, was wir schon ausgeschlossen haben.