Obststand/Lucy/Preis/Beispiel

Lucy Sonnenschein befindet sich an einem Obststand und möchte für ${}10$ Euro Obst kaufen. Dabei kosten (jeweils pro hundert Gramm) die Kirschen ${}0{,}50$ Euro, die Heidelbeeren ${}1{,}20$ Euro, die Himbeeren ${}0{,}90$ Euro und die Trauben ${}0{,}60$ Euro. Ein Einkauf wird durch ein Tupel ${}(x,y,z,w)$ repräsentiert, wobei sich die einzelnen Zahlen auf die gekaufte Menge (in hundert Gramm) der Obstsorten bezieht. Der Einkaufspreis ist somit

$0{,}5\cdot x+1{,}2\cdot y+0{,}9\cdot z+0{,}6\cdot w$

und die Bedingung, genau ${}10$ Euro auszugeben, führt auf die Gleichung

${}0{,}5\cdot x+1{,}2\cdot y+0{,}9\cdot z+0{,}6\cdot w=10\,$

bzw. in Brüchen

${}{\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z+{\frac {3}{5}}\cdot w=10\,.$

Es gibt hier sehr viele Lösungen. Sie kann beispielsweise nur Kirschen kaufen, dann wären das ${}20$ Einheiten von den Kirschen und ${}0$ von den anderen Sorten. Als Tupel geschrieben ist diese Lösung ${}(20,0,0,0)$. Oder sie könnte für jede Sorte gleich viel, nämlich ${}2{,}50$ Euro, ausgeben wollen, das würde das Lösungstupel ${}\left(5,\,{\frac {25}{12}},\,{\frac {25}{9}},\,{\frac {25}{6}}\right)$ ergeben. Oder sie möchte von jeder Sorte gleich viel kaufen. Dann wäre ${}x=y=z=w$ und es ergibt sich die Bedingung

${}{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {6}{5}}+{\frac {9}{10}}+{\frac {3}{5}}\right)}x={\frac {32}{10}}x=10\,,$

also

${}x={\frac {100}{32}}={\frac {25}{8}}\,$

und das Lösungstupel ${}\left({\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}}\right)$. Die entscheidende Beobachtung an der Situation ist, dass man sich (zumindest, wenn man auch negative Zahlen zulässt) ${}(x,y,z)$ frei vorgeben darf und dass dadurch der Wert ${}w$ über

${}w={\frac {5}{3}}{\left(10-{\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z\right)}\,$

bestimmt ist.