Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2). Es sei ${}L'(z)={\frac {1}{z}}$, wobei ${}L+c$ die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung

${}e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$

Für einen beliebigen Punkt ${}z_{0}\in U$ legt diese über

${}e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$

ein (nicht eindeutiges) ${}c_{0}$ fest. Es gilt dann

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$

und

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$

Also ist

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$

konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von ${}z_{0}$ und damit ist

${}e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$

und wegen der durch ${}z_{0}$ festgelegten Bedingung ist ${}d=1$. Von (2) nach (1). Wenn

${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

gilt, so ist

${}\exp \left(L(z)\right)\cdot L'(z)=a\,.$

Also ist

${}az\cdot L'(z)=a\,$

und damit

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$

Von (1) nach (3). Wenn

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,$

ist, so ist die Ableitung von ${}L(\exp z)$ gleich

${}L'(\exp z)\cdot \exp z={\frac {1}{\exp z}}\cdot \exp z=1\,.$

Also ist

${}L(\exp z)=z+b\,$

mit ${}b\in {\mathbb {C} }$ auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$. Von (3) nach (1). Wenn

${}L(\exp z)=z+b\,$

gilt, so ergibt sich durch ableiten

${}L'(\exp z)\cdot \exp z=1\,,$

also

${}L'(\exp z)={\frac {1}{\exp z}}\,.$

Da die Exponentialfunktion alle Werte ${}\neq 0$ annimmt, ist

${}L'(w)={\frac {1}{w}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage