Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Wesentlich/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ besitzt in ${}a$ eine wesentliche Singularität.
2. In der Laurent-Reihe zu ${}f$ in ${}a$ gibt es unendlich viele Koeffizienten zu negativen Indizes, die nicht gleich ${}0$ sind.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen