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Ich bin eine Funktion

Themenbereich

Welche Themen werden in diesem Exponat behandelt?

• Funktionen
• Weg-Zeit Diagramme

Kurzbeschreibung des Exponates

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?

Exponat Ich bin eine Funktion!

Das Exponat besteht aus:

• Einem Bildschirm, auf dem eine weiße Kurve in einem Koordinatensystem abgebildet ist. Insbesondere findet man ein Weg-Zeit Diagramm auf dem Bildschirm wieder.
• Einem roten Teppich, auf dem eine 4 Meter lange Strecke abgebildet ist.
• Einem Kasten mit einer Fotozelle, die die Position des Schülers erfasst.

Auf dem vorhandenen Bildschirm erscheint eine weiße Kurve in einem Koordinatensystem. Der Schüler soll sich auf der 4 Meter langen Strecke vor- und zurückbewegen (nicht rennen!). Dabei wird gleichzeitig seine Position durch die Fotozelle erfasst. Dadurch entsteht eine zweite gelbe Kurve, die in jedem Zeitpunkt anzeigt, wie groß der Abstand des Schülers zu dem Kasten mit dem Bildschirm ist. Das Experiment dauert 10 Sekunden. Die Aufgabe besteht darin, dass der Schüler die zweite Kurve durch seine eigene Bewegung zeichnet, sodass diese der vorgegebenen Kurve möglichst genau ähnelt. In anderen Wörtern, soll die Kurve möglichst genau „nachgelaufen“ werden.

Zentrale Aufgaben bzw. Arbeits­aufträge in der "Lernumgebung" des Exponates

Welche Aufgabe/Aufgaben bzw. Arbeitsaufträge stehen im Zentrum des Exponates?

Die Aufgabe bei diesem Exponat besteht darin, eine der auf dem Bildschirm vorgegebenen und wechselnden Funktionsgraphen möglichst genau nachzuzeichnen. Die Graphen sind alle verschieden gestaltet; es gibt lineare und quadratische Funktionen. Auf der langen Matte am Boden sind Zahlen von 1-4 aufgeschrieben, die sich auf der y-Achse auf dem Bildschirm wiederfinden. Nun ist die Aufgabe, möglichst gleichmäßig die vorgegebenen Zahlen auf der y-Achse zu „erlaufen“, sodass sich der gezeichnete Graph mit dem vorgegebenen deckt.

Material-Raum-Arrangement

Welches Material wird benötigt? Welche Arbeitsblätter werden verwendet? Wie muss die "Tischsituation" vorbereitet sein?

Bildschirm mit vorgegebenen Graphen, Matte mit Schritterkennung.

Dauer

Wie lange beträgt die Dauer des Exponats?
Die Dauer des Exponats beträgt maximal eine Minute, da ein Versuch 10 Sekunden dauert und jeder Schüler das Experiment höchstens 6 Mal durchführen wird.

Strategie

Welche Strategie kann man bei diesem Exponat anwenden?

Um die vorgegebene Aufgabe erfolgreich zu lösen, genügt es, dass die Schüler den Zusammenhang zwischen der Art und Weise ihrer eigenen Bewegung und den Eigenschaften der Kurve intuitiv erkennen und verstehen.

Mathematischer Gehalt

Wie kann der mathematische Gehalt des geplanten Exponates beschrieben werden?

Der mathematische Gehalt besteht bei diesem Exponat allgemein in dem Thema Funktionen. In der Mathematik ist eine Funktion $f$ eine Beziehung zwischen zwei Mengen $D$ und $W$, die jedem Element $x$ (unabhängige Variable oder $x$-Wert) von $D$ (Definitionsbereich) genau ein Element $y$ (abhängige Variable oder $y$-Wert) von $W$ (Wertebereich) zuordnet.

In einem Weg-Zeit-Diagramm ist die betrachtete Funktion $f:t\mapsto s=f(t),$ eine Funktion der Zeit $t$ $(t>0)$ mit reellen Werten $s$.

Bei diesem Exponat erstellt der Schüler durch seine eigene Bewegung ein Weg-Zeit-Diagramm, wobei die Werte der vorhandenen Funktion $f$ (d.h. die Funktion des Schülers) den Abstand $s$ (in Metern) des Schülers zum Bildschirm angeben. Da sich der Schüler auf einer $4$ Meter langen Strecke vor- und zurückbewegen kann, liegen die Werte der Funktion $f_{S}$ zwischen $0$ und $4$. Dadurch haben wir für den Wertebereich $W=\{s\in \mathbb {R} \;|\;0\leq s\leq 4\}$. Für den Definitionsbereich erhalten wir $D=\{t\in \mathbb {R} \;|\;0\leq t\leq 10\}$, da das Experiment $10$ Sekunden dauert.

Es ist wichtig zu erwähnen, dass während des Experimentes die Begriffe, mit denen sich mathematische Eigenschaften von Funktionen beschreiben lassen, nicht verbalisiert werden. Jedoch hat Albrecht Beutelspacher in seinem Buch Wie man in eine Seifenblase schlüpft die Verbindung zwischen den mathematischen Eigenschaften der Funktion, der Visualisierung der Funktion als Kurve und der Art und Weise der Bewegung des Experimentators anhand der folgenden Tabelle übersichtlich dargestellt:

Eigenschaft der Kurve	Art und Weise der Bewegung	Eigenschaft der Funktion
waagerechte Linie	still stehen	konstante Funktion
zeigt nach oben	rückwärtsgehen	steigend
zeigt nach unten	vorwärtsgehen	fallend
zeigt steil nach oben	schnell rückwärtsgehen	große Steigung
zeigt steil nach unten	schnell vorwärtsgehen	starkes Gefälle
Hochpunkt	Wechsel von Rückwärts- zu Vorwärtsbewegung	Maximum
Tiefpunkt	Wechsel von Vorwärts- zu Rückwärtsbewegung	Minimum
Kurve ganz unten	man befindet sich ganz vorne bei der Marke $0$	Nullstelle
Kurve ganz oben	man befindet sich ganz hinten bei der Marke $4$	Viererstelle

Beispiel

Beispiel einer nachgelaufenden Funktion

Nehmen wir an, dass ein Schüler das folgende Weg-Zeit-Diagramm (siehe Figur 1) durch seine eigene Bewegung gezeichnet hat. Dann kann man seine Bewegungen während dem Experiment folgendermaßen zusammenfassen: Am Anfang ($t=0$) stand der Schüler ungefähr $3.3$ Meter vor dem Bildschirm. Während $<t<4.1$0 hat er sich dem Bildschirm genähert bis er sich $0.9$ Meter vor dem Bildschirm befand. Während $t>4.1$ hat er sich wieder vom Bildschirm entfernt bis er $2.6$ Meter zum Zeitpunkt $t=10$ vor dem Bildschirm stand.

Welche Teilnehmer sollen angesprochen werden?

Gibt es einen speziellen Adressatenkreis des Exponates?

Es wird ein Themenkomplex behandelt, welcher mathematisch relativ anspruchsvoll ist bzw. nicht in den untersten Klassenstufen behandelt wird. Es ist also nützlich wenn man ein gewisses Vorwissen über Funktionen mitbringt. Dadurch hat man das nötige Wissen, um das mathematische Konzept hinter diesem Exponat nachvollziehen zu können. Jedoch erfordert das Exponat kein mathematisches Vorwissen, um in der Lage zu sein das Experiment erfolgreich durchführen zu können. Dadurch kann dieses schon von jüngeren Kindern getestet werden. Auch Erwachsene werden wegen der unkomplizierten Benutzung des Exponats angesprochen, sodass es letztendlich für alle Altersstufen geeignet und ansprechend gestaltet ist.

Wenn wir uns auf die Schulklassen beziehen, kann man zwischen den folgenden zwei Zielgruppen unterscheiden:

• Die unteren Klassenstufen: Die Schüler der unteren Klassenstufen sind in der Lage die Verbindung zwischen der Art und Weise ihrer Bewegung und den Eigenschaften der entstehenden Kurve intuitiv zu erkennen und zu verstehen. Durch den nicht vorhanden mathematischen Wortschatz im Kontext der Funktionen (z.B. Nullstellen, Maximum, Minimum, konstante Funktion,...), sind Sie jedoch nicht in der Lage die Verbindung zwischen der Art und Weise ihrer Bewegung und den Eigenschaften der damit verbundenen Funktion zu erkennen und zu beschreiben.
• Die oberen Klassenstufen: Die Schüler der oberen Klassenstufen haben das nötige mathematische Wissen über Funktionen, um die Verbindung zwischen der Art und Weise ihrer Bewegung, den Eigenschaften der Kurve und den Eigenschaften der Funktion zu erkennen und zu verstehen.

Historischer Hintergrund

Im Vergleich zu anderen Gebieten der Mathematik, handelt es sich bei den Funktionen um ein junges Gebiet. Im 18. Jahrhundert hat Leonhard Euler (1707 − 1783) die Bezeichnung $f(x)$ für eine Funktion eingeführt. Im Laufe des 19. Jahrhunderts haben sich die Mathematiker kontinuierlich mit stetigen und differenzierbaren Funktionen beschäftigt. Jedoch wurde der Begriff der «Funktion» erst im 20. Jahrhundert ein zentraler Begriff der Mathematik.

"Lernzuwachs" der Teilnehmer

Welche mathematische Einsichten (Aha-Erlebnisse der Teilnehmer) können während der Situation gewonnen werden?

Stolpersteine im Verlauf der Situation

Welche inhaltlichen und organisatorischen Stolpersteine können während der Situation auftreten?