Es sei
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![{\displaystyle {}f(x,y):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x=0{\text{ oder }}y=0\,,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05201da8f39282b3b9a19a787c9fc7d568399dfa)
Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Standardvektoren
bzw.
.
Für jeden Richtungsvektor
geht es um die Existenz des Limes
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![{\displaystyle {}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((0,0)+tv)}{t}}=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((ta,tb))}{t}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f64ab0c6b62c12f87a77f2c90aac6e255fd235e)
Bei
oder
ist der Zähler konstant gleich
, so dass der Limes existiert. Somit existieren die partiellen Ableitungen. Wenn hingegen
und
beide nicht
sind, so ist
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![{\displaystyle {}f((ta,tb))=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b4a593231cd36405a4f17c7ba787df137f0fec)
und dann existiert der Limes
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![{\displaystyle {}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((ta,tb))}{t}}=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9632352993fba950118babe8c7d415030b8aafd7)
nicht.