Prädikatenlogik/Quantoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt

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Mathematische Aussage enthalten häufig auch Existenzaussagen. Wenn wir bei dem eben erwähnten Beispiel bleiben, so bedeutet

die Aussage, dass es zu gegebenen festen und ein gibt derart, dass die drei Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden (diese Aussage ist in der reellen Zahlenebene wahr). In dem Beispielsatz wird nur über quantifiziert, nicht über und . Dies kann man durch die folgenden Aussagen erreichen.

was bedeutet, dass es Punkte gibt, die ein gleichseitiges Dreieck bilden, die wahr ist, aber deutlich schwächer als die Aussage

ist, die behauptet, dass es zu (beliebig vorgegebenen) Eckpunkten und stets einen dritten Punkt gibt, so dass ein gleichseitiges Dreieck entsteht.[1] Die Ausdrücke „es gibt“ und „für alle“ nennt man Quantoren. Für diese Quantoren gibt es spezielle Symbole, nämlich für „es gibt“ und für „für alle“. Die obigen Beispielsätze schreibt man dann formal als

bzw. als

Auf die Reihenfolge bei gleichartigen Quantoren kommt es nicht an (dies ist von der inhaltlichen Bedeutung her klar, wird später aber auch formal im Ableitungskalkül nachgebildet), sie ist aber bei wechselnden Quantoren entscheidend. Beispielsweise ist die Aussage

(also die Aussage, dass es einen Punkt gibt, der mit je zwei beliebigen weiteren Punkten ein gleichseitiges Dreieck bildet) im Gegensatz zur vorherigen Aussage nicht wahr.

Fußnoten
  1. Die Gültigkeit dieser Aussagen setzt voraus, dass wir über den reellen Zahlen bzw. in der reellen Zahlenebene arbeiten. Siehe Aufgabe.