Projektives Schema/Garbenkohomologie/Textabschnitt
Satz
Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über in Variablen und
der zugehörige projektive Raum.
Dann ist die Kohomologie der getwisteten Strukturgarben gleich
Beweis
Dies folgt aus Fakt.
Speziell ist für die
kanonische Garbe
(vergleiche
Fakt)
und
für .
Satz
Es sei der projektive Raum über einem noetherschen Ring und sei eine kohärente Garbe auf .
Dann sind die endlich erzeugte -Moduln.
Beweis
Für die getwisteten Strukturgarben ergibt sich die Aussage aus Fakt. Damit gilt sie auch für endliche direkte Summen von solchen Garben. Den allgemeinen Fall beweisen wir durch absteigende Induktion über den kohomologischen Index . Wenn dieser oberhalb von liegt, so gibt es nach Fakt nur triviale Kohomologie (wenn endliche Dimension besitzt, so kann man auch mit Fakt argumentieren), was den Induktionsanfang sichert. Es sei also die Aussage für ein und jede kohärente Garbe bewiesen. Es sei eine kohärente Garbe. Dann gibt es nach Fakt eine endliche direkte Summe und einen surjektiven -Modulhomomorphismus
Es sei der Kern dieser Abbildung, der nach Aufgabe
ebenfalls kohärent ist. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz zur Garbensequenzist
Dazu gehört die kurze exakte Sequenz von -Moduln
Nach der Vorüberlegung bzw. der Induktionsvoraussetzung sind und endlich erzeugte -Moduln und daher sind auch und nach Fakt auch endlich erzeugt. Nach Fakt ist auch endlich erzeugt.
Satz
Es sei ein projektives Schema über einem noetherschen Ring mit einer abgeschlossenen Einbettung in einen projektiven Raum. Es sei eine quasikohärente Garbe auf und die vorgeschobene Garbe.
Dann ist
für alle .
Beweis
Die vorgeschobene Garbe ist wieder quasikohärent. Nach Fakt kann man beide Seiten mit Čech-Kohomologie bezüglich der affinen Standardüberdeckung des projektiven Raumes bzw. der Überdeckung von berechnen. Dabei stimmt der gesamte Čech-Komplex überein und insbesondere die Čech-Kohomologie.
Satz
Es sei ein projektives Schema über einem noetherschen Ring und sei eine kohärente Garbe auf .
Dann sind die endlich erzeugte -Moduln.
Beweis
Man beachte, dass es um -Moduln geht, nicht um Moduln über dem Koordinatening von . Im wichtigsten Fall, wenn ein Körper ist, handelt es sich also bei den Kohomologiegruppen um endlichdimensionale Vektorräume über . Deren Dimensionen sind natürliche Zahlen, die den kohärente Garben auf zugeordnet werden und für diese in gewisser Weise charakteristisch sind. Wenn man die Strukturgarbe oder die Tangentialgarbe auf nimmt, so erhält man Zahlen
(Invarianten),
die für selbst charakteristisch sind. In diesem Zusammenhang setzt man abkürzend
Beispielsweise ist für eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper die Vektorraumdimension von das sogenannte Geschlecht der Kurve. Dies ist die wichtigste Invariante, wobei im komplexen Fall ein unmittelbarer Zusammenhang mit der topologischen Gestalt der Kurve (als komplex eindimensionale, reell zweidimensionale Mannigfaltigkeit) besteht.