Reelle Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Für jedes ${{}} x \in \R$ heißt die Reihe

$\sum_{n=0}^\infty \frac{ x^n }{n!}$

die Exponentialreihe in ${{}} x$.

Dies ist also die Reihe

$1+x+ \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \ldots .$

Satz

Für jedes ${{}} x \in \R$ ist die Exponentialreihe

$\sum_{n=0}^\infty \frac{ x^n }{n!}$

absolut konvergent.

Beweis

Für ${{}} x=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

${{}} \mid\! \frac{ \frac{x^{n+1} }{(n+1)!} }{\frac{x^n}{n!} }\!\mid = \mid\! \frac{x}{n+1} \!\mid = \frac{ \mid\! x\!\mid }{n+1} \, .$

Dies ist für ${{}} n \geq 2 \mid\! x\!\mid$ kleiner als ${{}} 1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.

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Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die reelle Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion

Definition

Die Funktion

${{}} \R \longrightarrow \R , \, x \longmapsto \operatorname{exp} \, x  : = \sum_{n=0}^\infty \frac{ x^n }{n!} \, ,$

heißt (reelle) Exponentialfunktion.

Satz

Für reelle Zahlen ${{}} x,y \in \R$ gilt

$\operatorname{exp} (x+y) = \operatorname{exp} \, x \cdot \operatorname{exp} \, y .$

Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

$\sum_{ n = 0}^\infty c_{ n }$

mit ${{}} c_n = \sum_{ i = 0 }^{ n } \frac{x^{i} }{i!} \frac{ y^{n-i } }{ (n-i)!}$. Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der ${{}} n$-te Summand der Exponentialreihe von ${{}} x+y$ gleich

${{}} \frac{(x+y)^n}{n!} = \frac{1}{n!} \sum_{ i = 0 }^{ n } \binom { n } { i} x^{i} y^{n-i} = c_n \, ,$

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.

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Korollar

Die Exponentialfunktion

${{}} \R \longrightarrow \R , \, x \longmapsto \operatorname{exp} \, x \, ,$

besitzt folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${{}} \operatorname{exp} \, 0 = 1$.
2. Für jedes ${{}} x \in \R$ ist ${{}} \operatorname{exp} (-x) = ( \operatorname{exp} \, x )^{-1}$. Insbesondere ist ${{}} \operatorname{exp} \, x \neq 0$.
3. Für ganze Zahlen ${{}} n \in \Z$ ist ${{}} \operatorname{exp} \, n = ( \operatorname{exp} \, 1)^n$.
4. Für jedes ${{}} x$ ist ${{}} \operatorname{exp} \, x \in \R_+$.
5. Für ${{}} x >0$ ist ${{}} \operatorname{exp} \, x > 1$ und für ${{}} x <0$ ist ${{}} \operatorname{exp} \, x <1$.
6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

${{}} \operatorname{exp} \, x \cdot \operatorname{exp} (-x) = \operatorname{exp} (x-x) = \operatorname{exp} \, 0 = 1 \,$

aufgrund von Fakt.
(3) folgt für ${{}} n \in \N$ aus Fakt durch Induktion, und daraus wegen (2) auch für negatives ${{}} n$.
(4). Die Nichtnegativität ergibt sich aus

${{}} \operatorname{exp} \, x = \operatorname{exp} \, \left( \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right) = \operatorname{exp} \, \frac{x}{2} \cdot \operatorname{exp} \, \frac{x}{2} = \left( \operatorname{exp} \, \frac{x}{2} \right)^2 \geq 0 \, .$

(5). Für reelles ${{}} x$ ist ${{}} \operatorname{exp} \, x \cdot \operatorname{exp} (-x) =1$, so dass nach (4) ein Faktor ${{}} \geq 1$ sein muss und der andere Faktor ${{}} \leq 1$. Für ${{}} x > 0$ ist

${{}} \operatorname{exp} \, x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} x^n = 1+x+ \frac{ 1 }{ 2 } x^2 + \ldots > 1 \, ,$

da ja hinten nur positive Zahlen hinzuaddiert werden.
(6). Für reelle ${{}} y > x$ ist ${{}} y-x >0$ und daher nach (5) ${{}} \operatorname{exp} (y-x)>1$, also

${{}} \operatorname{exp} \, y = \operatorname{exp} (y-x + x) = \operatorname{exp} (y-x) \cdot \operatorname{exp} \, x > \operatorname{exp} \, x \, .$

$\Box$