Das ist nicht der Fall. Wir betrachten die Folge
-
![{\displaystyle {}x_{n}={\frac {1}{n}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2ff28099e5e46c0d61e60dd134ecb2c8f4621c)
die streng gegen
konvergiert, und die Folge
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![{\displaystyle {}y_{n}=(-1)^{n}{\frac {1}{n}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ffd7880ab4ff2a1d0b6eeb08bf104778b6209e)
die ebenfalls streng gegen
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
konvergiert. Die Summenfolge
![{\displaystyle {}x_{n}+y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32deff310533ccc69fa21ea5584c1ac32ba87af3)
hat dann bei
![{\displaystyle {}n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f1551c84124ced21a5db61d4add476ed93e589)
gerade den Wert
![{\displaystyle {}{\frac {2}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe8c9ac74cf25683de659a903a473e0582a112a)
und bei
![{\displaystyle {}n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f1551c84124ced21a5db61d4add476ed93e589)
ungerade den Wert
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
. Die Abstandsfolge zum Grenzwert
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
ist daher abwechselnd
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
und
![{\displaystyle {}{\frac {2}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe8c9ac74cf25683de659a903a473e0582a112a)
und ist somit nicht monoton fallend.