Reelle Zahl/geq 1/Höhere Wurzeln/Monotonie/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\sqrt[{n}]{b}}\geq {\sqrt[{n+1}]{b}}\,$

   für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ zu zeigen. Aufgrund des strengen Wachstums des Potenzierens können wir die ${}n(n+1)$-te Potenz der beiden Zahlen vergleichen. Wegen

   ${}{\begin{aligned}{\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)}^{n(n+1)}&={\left({\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)}^{n}\right)}^{n+1}\\&=b^{n+1}\\&=b^{n}\cdot b\\&\geq b^{n}\\&={\left({\left({\sqrt[{n+1}]{b}}\right)}^{n+1}\right)}^{n}\\&={\left({\sqrt[{n+1}]{b}}\right)}^{n(n+1)}\end{aligned}}$

   ist dies richtig.

2. Dies ergibt sich aus dem strengen Wachstum des ${}n$-ten Wurzelziehens (siehe Fakt).
3. Wenn die Folge nicht gegen ${}1$ konvergieren würde, so würde es, da die Folge streng fallend ist, ein

   ${}\epsilon >0\,$

   mit

   ${}{\sqrt[{n}]{b}}\geq 1+\epsilon \,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$ geben. Das bedeutet

   ${}b=({\sqrt[{n}]{b}})^{n}\geq (1+\epsilon )^{n}\geq 1+n\epsilon \,.$

   Da ${}b$ eine feste Zahl ist und ${}n$ beliebig groß wird, widerspricht das dem Archimedesprinzip in der Form Fakt.

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