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Riemann-integral/Stetige Funktion/Treppenfunktion zu Werten/Aufgabe/Lösung

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Zu sei

wobei das Minimum von auf dem Teilintervall sei. D.h., dass das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion bezüglich der äquidistanten Unterteilung in Teilintervalle ist. Die Folge konvergiert gegen das bestimmte Integral (vergleiche Aufgabe). Wir zeigen, dass gegen konvergiert, sodass ebenfalls gegen das bestimmte Integral konvergiert.

Sei vorgegeben. Nach Fakt ist gleichmäßig stetig. Das bedeutet, dass es zu

ein derart gibt, dass aus

die Abschätzung

folgt. Es sei nun derart, dass

ist. Die Länge der Teilintervalle ist somit . Dies bedeutet, dass

Daher ist