Riemann Integral/Über Ober und Unterintegral/Textabschnitt

Eine untere und eine obere Treppenfunktion. Der grüne Flächeninhalt ist eine Untersumme und der gelbe Flächeninhalt (teilweise verdeckt) ist eine Obersumme.

Definition

Sei ${{}} I$ ein kompaktes Intervall und sei

${{}} f \colon I \longrightarrow \R \,$

eine Funktion. Dann heißt ${{}} f$ Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von ${{}} f$ existieren und übereinstimmen.

Definition

Es sei ${{}} I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

${{}} f \colon I = [a,b] \longrightarrow \R , \, t \longmapsto f(t) \, ,$

heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von ${{}} f$ über ${{}} I$. Es wird mit

$\int_{ a } ^{ b } f ( t) \, d t \text{ oder mit } \int_{ I } ^{ } f ( t) \, d t$

bezeichnet.

Das Berechnen von solchen Integralen nennt man integrieren. Man sollte sich keine allzu großen Gedanken über das Symbol ${{}} dt$ machen. Darin wird ausgedrückt, bzgl. welcher Variablen die Funktion zu integrieren ist. Es kommt dabei aber nicht auf den Namen der Variablen an, d.h. es ist

$\int_{ a } ^{ b } f(t) \, d t = \int_{ a } ^{ b } f(x) \, d x$

Lemma

Sei ${{}} I$ ein kompaktes Intervall und sei

${{}} f \colon I \longrightarrow \R \,$

eine Funktion. Es gebe eine Folge von unteren Treppenfunktionen ${{}} ( s_n )_{ n \in \N }$ mit ${{}} s_n \leq f$ und eine Folge von oberen Treppenfunktionen ${{}} ( t_n )_{ n \in \N }$ mit ${{}} t_n \geq f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihr Grenzwert übereinstimmt.

Dann ist ${{}} f$ Riemann-integrierbar, und das bestimmte Integral ist gleich diesem Grenzwert, also

${{}} \operatorname{lim}_{ n \rightarrow \infty} \int_{ a } ^{ b } s_n ( x) \, d x = \int_{ a } ^{ b } f ( x) \, d x = \operatorname{lim}_{ n \rightarrow \infty} \int_{ a } ^{ b } t_n ( x) \, d x \,$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

${{}} f \colon [0,1] \longrightarrow \R , \, t \longmapsto t^2 \, ,$

die bekanntlich in diesem Intervall streng wachsend ist. Für ein Teilintervall ${{}} [a,b] \subseteq [0,1]$ ist daher ${{}} f(a)$ das Minimum und ${{}} f(b)$ das Maximum der Funktion über diesem Teilintervall. Sei ${{}} n$ eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall ${{}} [0,1]$ in die ${{}} n$ gleichlangen Teilintervalle

$\left[ i \frac{1}{n}, (i+1) \frac{1}{n} \right] , i=0 , \ldots , n-1 ,$

der Länge ${{}} \frac{1}{n}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen unteren Treppenfunktionen ist

${{}} \sum_{i = 0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( i \frac{1}{n} \right)^2 = \frac{1}{n^3} \sum_{i = 0}^{n-1} i^2 = \frac{1}{n^3} \left( \frac{1}{3} n^3 - \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6} n \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} \,$

(siehe Aufgabe für die Formel für die Summe der Quadrate). Da die beiden Folgen ${{}} \left( 1/2n \right)_{ n \in \N }$ und ${{}} \left( 1/6n^2 \right)_{ n \in \N }$ gegen ${{}} 0$ konvergieren, ist der Limes für ${{}} n \rightarrow \infty$ von diesen Treppenintegralen gleich ${{}} \frac{1}{3}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen oberen Treppenfunktionen ist

${{}} \sum_{i = 0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( (i+1) \frac{1}{n} \right)^2 = \frac{1}{n^3} \sum_{i = 0}^{n-1} (i+1)^2 = \frac{1}{n^3} \sum_{j = 1}^{n} j^2 = \frac{1}{n^3} \left( \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6} n \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} \, .$

Der Limes davon ist wieder ${{}} \frac{1}{3}$. Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach Fakt überhaupt das Ober- und das Unterintegral übereinstimmen, so dass die Funktion Riemann-integrierbar ist und das bestimmte Integral

${{}} \int_{ 0 } ^{ 1 } t^2 \, d t = \frac{1}{3} \,$

ist.

Lemma

Sei ${{}} I =[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

${{}} f \colon I \longrightarrow \R \,$

eine Funktion.

Dann ist ${{}} f$ genau dann Riemann-integrierbar, wenn es eine Unterteilung ${{}} a=a_0 < a_1 < \cdots < a_n=b$ gibt derart, dass die einzelnen Einschränkungen ${{}} f_i := f |_{[a_{i-1},a_i]}$ Riemann-integrierbar sind.

In dieser Situation gilt

$\int_{ a } ^{ b } f ( t) \, d t = \sum_{i=1}^n \int_{ a_{i-1} } ^{ a_i } f_i ( t) \, d t .$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Sei ${{}} I$ ein reelles Intervall und sei

${{}} f \colon I \longrightarrow \R \,$

eine Funktion. Dann heißt ${{}} f$ Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${{}} f$ auf jedes kompakte Intervall ${{}} [a,b] \subseteq I$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgrund des obigen Lemmas stimmen für ein kompaktes Intervall ${{}} [a,b]$ die beiden Definitionen überein.