Riemannsche Fläche/Holomorphe algebraische Gleichung/Irreduzibel/Zusammenhängend/Fakt/Beweis

Beweis

Wir argumentieren über die offene Teilmenge von ${}X$, auf der die meromorphen Funktionen holomorph sind, was die Irreduzibilität nicht ändert. Die ${}\alpha _{i}$ seien also holomorph. Die Abbildung ${}Y\rightarrow X$ ist endlich. Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung

${}Y=Y_{1}\uplus \ldots \uplus Y_{k}\,$

in Zusammenhangskomponenten ${}Y_{j}$. Die induzierten Abbildungen ${}Y_{j}\rightarrow X$ sind ebenfalls endlich. Nach Fakt erfüllt die auf ${}Y_{1}$ eingeschränkte Funktion ${}T$ eine Ganzheitsgleichung vom Grad ${}<n$. Sie erfüllt aber auch die Ausgangsgleichung auf ${}Y$ und damit auf ${}Y_{1}$. Dies widerspricht der Irreduzibilität.

Zur bewiesenen Aussage