S^2/Antipodenabbildung ist nicht orientierungstreu/Aufgabe/Lösung

Als Antipodenabbildung erhalten wir die Matrix

$\ dA={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$ $\in$ $\mathbb {R} ^{3x3}$.

Folglich ist die Determinante von $dA$ genau -1, also

$\det(dA)=-1<0$
und somit ist $S^{2}$ nicht orientierunstreu.

Insbesondere erhalten wir daraus, dass $S^{n}$ genau dann orientierunstreu ist, wenn $n$ ungerade ist.