Schwangerschaftsabbrüche

Modellierungsthema und Zielsetzung

Im Folgenden entsteht im Verlauf des WS18/19 ein Portfolio der mathematischen Modellbildung zum Thema: Welche Auswirkungen ergeben sich für Deutschland, wenn es keine Schwangerschaftsabbrüche mehr gibt?

Einführung

Ein Schwangerschaftsabbruch, auch Entfruchtung oder Abtreibung genannt, bezeichnet eine vorzeitige Beendigung einer Schwangerschaft. Hierfür gibt es verschiedene Methoden zum Abbruch einer Schwangerschaft, welche unterschiedliche Risiken mit sich bringen können. Das Ungeborene überlebt einen solchen Eingriff (meist) nicht. Aus diesem Grund gilt das Thema Schwangerschaftsabbruch als sehr umstritten, kann in Deutschland aber dennoch in einem Zeitraum bis zur zwölften Schwangerschaftswoche straffrei durchgeführt werden.

Ausgangssituation

(Tabelle 1) Daten zu Bevölkerung, Geburten, Schwangerschaftsabbrüchen und Sterbefällen

Jahr	Bevölkerung	Geburten	Schwangerschaftsabbrüche	Sterbefälle
2000	82260000	766.999	134.609	838.797
2001	82440000	734.475	134.964	828.541
2002	82537000	719.250	130.387	841.686
2003	82532000	706.721	128.030	853.946
2004	82501000	705.622	129.650	818.271
2005	82438000	685.795	124.023	830.227
2006	82315000	672.724	119.710	821.627
2007	82218000	684.862	116.871	827.155
2008	82002000	682.514	114.484	844.439
2009	81802000	665.126	110.694	854.544
2010	81752000	677.947	110.431	858.768
2011	80328000	662.685	108.867	852.328
2012	80524000	673.544	106.815	869.582
2013	80767000	682.069	102.802	893.825
2014	81198000	714.927	99.715	868.356
2015	82176000	737.575	99.237	925.200
2016	82522000	792.131	98.721	910.902
2017	82792000	784.901	101.209	932.272

Daten entnommen von: https://de.statista.com

Die Zielsetzung für den ersten Modellierungszyklus formulieren (A2)

Im ersten Modellierungszyklus wollen wir uns mit der Population Deutschlands im Ausblick auf die folgenden Jahre (bis 2027) beschäftigen. Hierbei stellen wir uns die Frage, wie viele Geburten es insgesamt gibt und wie sich die Population verändert, wenn es zu keinen Schwangerschaftsabbrüchen mehr kommen würde. Diesbezüglich werden wir uns auf die Zahlen der Geburten und der Schwangerschaftsabbrüchen der Jahre von 2000 bis 2017 beziehen (siehe Ausgangssituation).

Niveauzuordnung (A3):

Sekundarstufe I

• Datenrecherche von Bevölkerung, Geburten und Schwangerschaftsabbrüchen in den Jahren 2000-2017
• Datenerhebung der Datenrecherche in einer Tabelle
• Bildung der Summen:

- Geburten und Schwangerschaftsabbrüche

- Geburten und Sterbefälle

• Berechnung Bevölkerungswachstum
• Berechnung Geburten und Sterberate
• Funktionaler Zusammenhang der Populationsberechnung
• Diagramme erstellen, z.B. ein Säulendiagramm
• Programme: Tabellenkalkulation, z.B. Excel

(Tabelle 2) Vergleich von Geburten und Schwangerschaftsabbrüche

Jahr	Geburten	Schwangerschaftsabbrüche	Geburten und Abbrüche
2000	766.999	134.609	901.608
2001	734.475	134.964	869.439
2002	719.250	130.387	849.637
2003	706.721	128.030	834.751
2004	705.622	129.650	835.272
2005	685.795	124.023	809.818
2006	672.724	119.710	792.434
2007	684.862	116.871	801.733
2008	682.514	114.484	796.998
2009	665.126	110.694	775.820
2010	677.947	110.431	788.378
2011	662.685	108.867	771.552
2012	673.544	106.815	780.359
2013	682.069	102.802	784.871
2014	714.927	99.715	814.642
2015	737.575	99.237	836.812
2016	792.131	98.721	890.852
2017	784.901	101.209	886.110

Daten entnommen von: https://de.statista.com

Daten entnommen: https://de.statista.com

Sekundarstufe II

• 
 Sek I und zusätzlich:
• Ableitung von e-Funktionen
• Trendlinie erstellen
• Programme: Tabellenkalkulation, Geogebra

Universität - Populationsmodellierung

• Untersuchung:

- Veränderung der Population mit und ohne Schwangerschaftsabbrüche anhand Populationsberechnungen sowie Fehlerberechnungen

- Auswirkung auf das Sozialversicherungssystem Deutschlands

• Graphische Darstellung
• Programme: Tabellenkalkulation, Maxima

Modellierungszyklen

Modellierungszyklus 1

In unserem ersten Modellierungszyklus haben wir uns zum Ziel genommen, herauszufinden wie sich die Population, sprich die Gesamtbevölkerung Deutschlands im Blick auf die Zukunft bis hin zum Jahr 2027 verändert.

Schritt 1: Erste Populationsberechnung mit Zukunftsausblick

Hierbei haben wir zunächst mit der Gleichung 𝝀=𝞪-𝞫, wobei 𝞪 der Anzahl der Geburten in Deutschland und 𝞫 der Anzahl der Sterbefälle in Deutschland entsprechen, den Wachstum der deutschen Bevölkerung ermittelt. Diese Anzahl an Wachstum konnten wir anschließend durch die durchschnittliche Bevölkerungszahl ℇ, welche wir uns zuvor mithilfe der Tabellenkalkulation erschließen konnten, dividieren. Diese entspricht 81950222 Menschen. Somit erhielten wir die Wachstumsraten der deutschen Bevölkerung in Prozent. Mit der Formel p(t+𝚫t)=p(t)+ 𝛄 *p(t), ist es uns möglich die Bevölkerungsanzahl für ein darauf folgendes Jahr zu berechnen. Der Teil p(t) entspricht der Bevölkerungsanzahl des Vorjahres der zu berechnenden Bevölkerungsanzahl. Hinzu wird 𝛄 von dem dazugehörigen Vorjahres addiert und mit p(t) multipliziert. In der letzten Spalte unserer Tabelle (Spalten von Jahr 2001 bis zum Jahr 2017) zeigen sich die von uns errechneten Bevölkerungszahlen, welche wir mit den gegebenen Bevölkerungszahlen vergleichen konnten. Anhand des Vergleichs konnten wir feststellen, wie genau die Formel das Errechnen einer Bevölkerungsanzahl ermöglicht. Ab dem Jahr 2018 lagen keine vorgegebenen Anzahlen zu den Geburten, den Sterbefällen sowie der Gesamtbevölkerung vor, weshalb wir mit Konstanten in der Formel weitergerechnet haben. Hierfür verwendeten wir für 𝞪 die durchschnittliche Geburtenanzahl der Jahre 2000-2017, welche 708325 Geburten entspricht. Für 𝞫 verwendeten wird analog die durchschnittliche Anzahl von 859470 Sterbefällen. In der Differenz von 𝞪 und 𝞫 lies sich somit eine Konstante 𝝀=-151145 ermitteln. Ebenso ergab sich eine Konstante für 𝛄, die bei -0,1844355% liegt.

(Tabelle 3) Population mit Blick in die Zukunft. Berechnung mit der durchschnittlichen Population.

Jahr	Bevölkerung	Geburten	Sterbefälle	𝝀=𝞪-𝞫	𝛄=𝝀/ℇ	p(t+𝚫t)=p(t)+𝛄*p(t)
2000	82260000	766999	838797	-71798	-0,0876117%
2001	82440000	734475	828541	-94066	-0,1147843%	82187931
2002	82537000	719250	841686	-122436	-0,1494029%	82345372
2003	82532000	706721	853946	-147225	-0,1796517%	82413687
2004	82501000	705622	818271	-112649	-0,1374603%	82383730
2005	82438000	685795	830227	-144432	-0,1762436%	82387594
2006	82315000	672724	821627	-148903	-0,1816993%	82292708
2007	82218000	684862	827155	-142293	-0,1736335%	82165434
2008	82002000	682514	844439	-161925	-0,1975895%	82975242
2009	81802000	665126	854544	-189418	-0,2311379%	81839973
2010	81752000	677947	858768	-180821	-0,2206474%	81612925
2011	80328000	662685	852328	-189643	-0,2314124%	81571616
2012	80524000	673544	869582	-196038	-0,2392159%	80142111
2013	80767000	682069	893825	-211756	-0,2583959%	80331374
2014	81198000	714927	868356	-153429	-0,1872222%	80558301
2015	82176000	737575	925200	-187625	-0,2289500%	81045979
2016	82522000	792131	910902	-118771	-0,1449307%	81987858
2017	82792000	784884	932272	-147388	-0,1798506%	82402400
Zukunftsausblick
2018	82643098	708325	859470	-151145	-0,1844355%	82643098
2019	82490675	708325	859470	-151145	-0,1844355%	82490675
2020	82338533	708325	859470	-151145	-0,1844355%	82338533
2021	82286671	708325	859470	-151145	-0,1844355%	82286671
2022	82035090	708325	859470	-151145	-0,1844355%	82035090
2023	81883788	708325	859470	-151145	-0,1844355%	81883788
2024	81732765	708325	859470	-151145	-0,1842596%	81732765
2025	81582021	708325	859470	-151145	-0,1844355%	81582021
2026	81431555	708325	859470	-151145	-0,1844355%	81431555
2027	81281366	708325	859470	-151145	-0,1844355%	81281366

Schritt 2: Zusätzliche Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

Im zweiten Schritt unserer Berechnungen haben wir die Anzahl der gegebenen Schwangerschaftsabbrüche mit berücksichtigt. Dadurch haben sich unsere jährlichen Bevölkerungszahlen verändert. Unsere neu errechneten Anzahlen zur deutschen Bevölkerung ergeben sich aus der zugvorgegebenen Bevölkerungsanzahl in einem Jahr, addiert mit der gegebenen Abtreibungszahl im gleichen Jahr. Auch die Anzahl der jährlichen Geburten deutscher Babys steigt durch das Ausbleiben von Abtreibungen. Die neue Geburtenanzahl lässt sich durch die zuvor gezeigten Geburtenzahlen eines Jahres addiert mit der Abtreibungsanzahl im selben Jahr summieren. Für die benötigte Sterberate haben wir die gegebenen Sterbefälle mit der zuvor gegebenen (nicht neu errechneten) Bevölkerungsanzahl dividiert. Um in den folgenden Rechnungen (siehe Tabelle 5) die neue Anzahl der Gesamtsterbefälle nutzen zu können, haben wir abschließend in Tabelle 4 die neu errechnete Bevölkerungszahl eines Jahres mit der zuvor errechneten Sterberate eines Jahres multipliziert.

(Tabelle 4)

Jahr	Bevölkerung	Geburten	Sterbefälle	Abtreibungen	Sterberate
2000	82260000	766999	838797	134609	0,0101969000729395
2001	82440000	734475	828541	134964	0,0100502304706453
2002	82537000	719250	841686	130387	0,0101976810400184
2003	82532000	706721	853946	128030	0,0103468472834779
2004	82501000	705622	818271	129650	0,00991831614162253
2005	82438000	685795	830227	124023	0,0100709260292584
2006	82315000	672724	821627	119710	0,00998149790439167
2007	82218000	684862	827155	116871	0,01006050986402
2008	82002000	682514	844439	114484	0,0102977854198678
2009	81802000	665126	854544	110694	0,0104464927507885
2010	81752000	677947	858768	110431	0,0105045503473921
2011	80328000	662685	852328	108867	0,0106105965541281
2012	80524000	673544	869582	106815	0,0107990412796185
2013	80767000	682069	893825	102802	0,0110667104139067
2014	81198000	714927	868356	99715	0,0106943028153403
2015	82176000	737575	925200	99237	0,011258761682243
2016	82522000	792131	910902	98721	0,0110382928188847
2017	82792000	784884	932272	101209	0,0112604116339743

Schritt 3: Population unter Berücksichtigung des Ausbleibens von Schwangerschaftsabbrüchen

Die Ergebnisse in folgender Tabelle ergeben sich durch ein gleiches Vorgehen wie in Tabelle 3. Die benötigten Werte, zum Lösen der Gleichungen wurden aus Tabelle 4 entnommen.

(Tabelle 5) Population, wenn es keine Schwangerschaftsabbrüche mehr geben würde. Berechnet mit der durchschnittlichen Population.

Jahr	Bevölkerung	Geburten	Sterbefälle	𝝀=𝞪-𝞫	𝛄=𝝀/ℇ	p(t+𝚫t)=p(t)+𝛄*p(t)
2000	82394609	901608	840170	61438	0,0748653%
2001	82574964	869439	829897	39542	0,0481831%	82456294
2002	82667387	849637	843016	6621	0,0080684%	82614751
2003	82660030	834751	855271	-20520	-0,0250041%	82674057
2004	82630650	835272	819557	15715	0,0191495%	82639362
2005	82562023	809818	831476	-21658	-0,0263912%	82646473
2006	82434710	792434	822822	-30388	-0,0370289%	82540234
2007	82334871	801733	828331	-26598	-0,0324105%	82404185
2008	82116484	796998	845618	-48620	-0,0592454%	82308186
2009	81912694	775820	855700	-79880	-0,0973376%	82067834
2010	81862431	788378	859928	-71550	-0,0871867%	81832962
2011	80436867	771552	853483	-81931	-0,0998365%	81791058
2012	80630815	780359	870735	-90376	-0,1101276%	80356562
2013	80869802	784871	894963	-110092	-0,1341513%	80542018
2014	81297715	814642	869422	-54780	-0,0667522%	80761314
2015	82275237	836812	926317	-89505	-0,1090659%	81243447
2016	82620721	890852	911992	-21140	-0,0257596%	82185503
2017	82893209	886093	933412	-47319	-0,0576598%	82599438
Zukunftsausblick
2018	82845413	823393	860673	-37280	-0,0454273%	82845413
2019	82807779	823393	860673	-37280	-0,0454273%	82807779
2020	82770161	823393	860673	-37280	-0,0454273%	82770161
2021	82732561	823393	860673	-37280	-0,0454273%	82732561
2022	82694978	823393	860673	-37280	-0,0454273%	82694978
2023	82657412	823393	860673	-37280	-0,0454273%	82657412
2024	82619863	823393	860673	-37280	-0,0454273%	82619863
2025	82582331	823393	860673	-37280	-0,0454273%	82582331
2026	82544816	823393	860673	-37280	-0,0454273%	82544816
2027	82507318	823393	860673	-37280	-0,0454273%	82507318

Modelierungszyklus 2

In unserem zweiten Modellierungszyklus haben wir im Vergleich zu dem ersten Zyklus nicht die durchschnittliche Bevölkerung ℇ mit eingerechnet, sondern diese durch die jährliche Populationszahl µ ersetzt.

Schritt 1: Populationsberechnung anhand jährlicher Bevölkerungsanzahl, mit Zukunftsausblick

(Tabelle 6) Population mit Blick in die Zukunft. Berechnung mit der jährlichen Population.

Jahr	Bevölkerung	Geburten	Sterbefälle	𝝀=𝞪-𝞫	ƒ=𝝀/µ	p(t+𝚫t)=p(t)+(ƒ)*p(t)
2000	82260000	766999	838797	-71798	-0,0872818%
2001	82440000	734475	828541	-94066	-0,1141024%	82188202
2002	82537000	719250	841686	-122436	-0,1483407%	82345934
2003	82532000	706721	853946	-147225	-0,1783854%	82414564
2004	82501000	705622	818271	-112649	-0,1365426%	82384775
2005	82438000	685795	830227	-144432	-0,1752008%	82388351
2006	82315000	672724	821627	-148903	-0,1808941%	82293568
2007	82218000	684862	827155	-142293	-0,1730679%	82166097
2008	82002000	682514	844439	-161925	-0,1974647%	82075707
2009	81802000	665126	854544	-189418	-0,2315567%	81840075
2010	81752000	677947	858768	-180821	-0,2211824%	81612582
2011	80328000	662685	852328	-189643	-0,2360858%	81571179
2012	80524000	673544	869582	-196038	-0,2434529%	80138357
2013	80767000	682069	893825	-211756	-0,2621813%	80327962
2014	81198000	714927	868356	-153429	-0,1889566%	80555244
2015	82176000	737575	925200	-187625	-0,2283209%	81044571
2016	82522000	792131	910902	-118771	-0,1439265%	81988375
2017	82792000	784884	932272	-147388	-0,1780220%	82403229
Zukunftsausblick
2018	82644612	708325	859470	-151145	-0,1828859%	82644612
2019	82493467	708325	859470	-151145	-0,1832210%	82493467
2020	82342321	708325	859470	-151145	-0,1835573%	82342321
2021	82191176	708325	859470	-151145	-0,1838948%	82191176
2022	82040031	708325	859470	-151145	-0,1842336%	82040031
2023	81888885	708325	859470	-151145	-0,1845737%	81888885
2024	81737740	708325	859470	-151145	-0,1849150%	81737740
2025	81586595	708325	859470	-151145	-0,1852576%	81586595
2026	81435449	708325	859470	-151145	-0,1856014%	81435449
2027	81284304	708325	859470	-151145	-0,1859465%	81284304

Schritt 2: Zusätzliche Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

(Tabelle 7) Population, wenn es keine Schwangerschaftsabbrüche mehr geben würde. Berechnung mit der jährlichen Population.

Jahr	Bevölkerung	Geburten	Sterbefälle	𝝀=𝞪-𝞫	𝝀/ jährliche Bevölkerung	p(t+𝚫t)=p(t)+(𝞪-𝞫) *p(t)
2000	82394609	901608	840170	61438	0,0745661%
2001	82574964	869439	829897	39542	0,0478857%	82456047
2002	82667387	849637	843016	6621	0,0080096%	82614506
2003	82660030	834751	855271	-20520	-0,0248242%	82674008
2004	82630650	835272	819557	15715	0,0190185%	82639510
2005	82562023	809818	831476	-21658	-0,0262324%	82646365
2006	82434710	792434	822822	-30388	-0,036863%	82540365
2007	82334871	801733	828331	-26598	-0,0323044%	82404322
2008	82116484	796998	845618	-48620	-0,0592085%	82308273
2009	81912694	775820	855700	-79880	-0,0975189%	82067864
2010	81862431	788378	859928	-71550	-0,0874028%	81832814
2011	80436867	771552	853283	-81931	-0,1018577%	81790881
2012	80630815	780359	870735	-90376	-0,1120868%	80354936
2013	80869802	784871	894963	-110092	-0,1361345%	80540439
2014	81297715	814642	869422	-54780	-0,0673824%	80759710
2015	82275237	836812	926317	-89505	-0,1087876%	81242935
2016	82620721	890852	911992	-21140	-0,0255865%	82185732
2017	82893209	886093	933412	-47319	-0,0570839%	82599581
Zukunftsausblick
2018	82845890	823393	860673	-37280	-0,0449993%	82845890
2019	82808610	823393	860673	-37280	-0,0450195 %	82808610
2020	82771330	823393	860673	-37280	-0,0450398%	82771330
2021	82734050	823393	860673	-37280	-0,0450601%	82734050
2022	82696770	823393	860673	-37280	-0,0450804%	82696770
2023	82659490	823393	860673	-37280	-0,0451007%	82659490
2024	82622210	823393	860673	-37280	-0,0451211%	82622210
2025	82584930	823393	860673	-37280	-0,0451415%	82584930
2026	82547650	823393	860673	-37280	-0,0451618%	82547650
2027	82510370	823393	860673	-37280	-0,0451822%	82510370

Modellierungszyklus 3

Schritt 1: Populationsentwicklung anhand linearer Populationswachstumsrate

1.1 Gebrutenrate ohne Beachtung der Schwangerschaftsabbrüche

Zunächst wird die Geburtenrate (Geburten/Bevölkerungsanzahl) berechnet (genauer aus den ermittelten Daten mittels linearer Regression als lineare Funktion gesucht).

(Tabelle 8)

Jahr	Geburtenrate
2000	0,93%
2001	0,89%
2002	0,87%
2003	0,86%
2004	0,86%
2005	0,83%
2006	0,82%
2007	0,83%
2008	0,83%
2009	0,81%
2010	0,83%
2011	0,82%
2012	0,84%
2013	0,84%
2014	0,88%
2015	0,9%
2016	0,96%
2017	0,95%

1.2 Lineare Regression

Abb. 2:Säulendiagramm von Geburten und Schwangerschaftsabbrüche

Diese Geburtenrate wurde nun als Lineare Regression der Funktion λ approximiert (hier wäre ein Bild der daten mit der linearer Funktion lambda(t) anschaulich).

$\lambda (t)=0,00001908\cdot t+0,0085$

$p'(t)=\lambda (t)\cdot p(t)$

$\Leftrightarrow {\frac {p(t)'}{p(t)}}=\lambda (t)$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\lambda (t)$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=0,00001908\cdot t+0,0085$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\int (0,00001908\cdot t+0,0085)$

$\Rightarrow (\ln(p(t)))=\lbrack {\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot t^{2}+0,0085\cdot t+c\rbrack$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot t^{2}+0,0085\cdot t+c)}$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot t^{2}+0,0085\cdot t)}\cdot \underbrace {e^{c}} _{={\hat {c}}}$

$\Leftrightarrow p(t)={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot t^{2}+0,0085\cdot t)}$

berechne nun ${\hat {c}}$:

${\hat {c}}=w_{2000}\cdot e^{-({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot {t_{0}}^{2}+0,0085\cdot t_{0})}$

Hierbei entspricht $t_{0}=0$ , sowie $w_{2000}=82260000$ also der Bevölkerungszahl im Jahr 2000.

somit gilt also:

${\hat {c}}=82260000\cdot \underbrace {e^{-({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot {0}^{2}+0,0085\cdot 0)}} _{=e^{0}=1}$

$\Leftrightarrow {\hat {c}}=82260000$ ist somit die gesuchte Konstante

Rechne nun weiter mit der Formel:

$p(t_{0})={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot {t_{0}}^{2}+0,0085\cdot {t_{0}})}$

$\Leftrightarrow p(t_{0})=82260000\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot {t_{0}}^{2}+0,0085\cdot {t_{0}})}$

Somit ergibt sich die folgende Berechnung

(Tabelle 9)

Jahr	to	berechnete Bevölkerungszahl
2000	0	82260000
2001	1	82962982
2002	2	83673567
2003	3	84391849
2004	4	85117921
2005	5	85851878
2006	6	86593816
2007	7	87343832
2008	8	88102025
2009	9	88868496
2010	10	89643345
2011	11	90426675
2012	12	91218591
2013	13	92019197
2014	14	92828602
2015	15	93646913
2016	16	94474240
2017	17	95310694
2018	18	96156389
2019	19	97011439
2020	20	97875960
2021	21	98750069
2022	22	99633886
2023	23	100527530
2024	24	101431126
2025	25	102344796
2026	26	103268666
2027	27	104202865

1.3 Geburtenrate, bei Ausbleiben der Schwangerschaftsabbrüche

Als nächstes wurde die Geburtenrate berechnet, wenn es keine Schwangerschaftsabbrüche mehr gibt.

(Tabelle 10)

Jahr	Geburtenrate
2000	1,09%
2001	1,05%
2002	1,03%
2003	1,01%
2004	1,01%
2005	0,98%
2006	0,96%
2007	0,97%
2008	0,97%
2009	0,95%
2010	0,96%
2011	0,96%
2012	0,97%
2013	0,97%
2014	1,00%
2015	1,02%
2016	1,08%
2017	1,07%

1.4 Lineare Regression

Abb. 3:Säulendiagramm von Geburten und Schwangerschaftsabbrüche

Die Geburtenrate wurde dann erneut mittels Linearer Regression der Funktion ε approximiert

$\epsilon (t)=-0,000008205\cdot t+0,0101$

$p'(t)=\epsilon (t)\cdot p(t)$

$\Leftrightarrow {\frac {p(t)'}{p(t)}}=\epsilon (t)$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\epsilon (t)$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=-0,000008205\cdot t+0,0101$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\int (-0,000008205\cdot t+0,0101)$

$\Rightarrow (\ln(p(t)))=\lbrack {\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot t^{2}+0,0101\cdot t+c\rbrack$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot t^{2}+0,0101\cdot t+c)}$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot t^{2}+0,0101\cdot t)}\cdot \underbrace {e^{c}} _{={\hat {c}}}$

$\Leftrightarrow p(t)={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot t^{2}+0,0101\cdot t)}$

berechne nun ${\hat {c}}$:

${\hat {c}}=w_{2000}\cdot e^{-({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot {t_{0}}^{2}+0,0101\cdot t_{0})}$

Hierbei entspricht $t_{0}=0$ , sowie $w_{2000}=82394609$ also der Bevölkerungszahl im Jahr 2000.

somit gilt also:

${\hat {c}}=82394609\cdot \underbrace {e^{-({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot {0}^{2}+0,0101\cdot 0)}} _{=e^{0}=1}$

$\Leftrightarrow {\hat {c}}=82394609$ ist somit die gesuchte Konstante

Rechne nun weiter mit der Formel:

$p(t_{0})={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot {t_{0}}^{2}+0,0101\cdot {t_{0}})}$

$\Leftrightarrow p(t_{0})=82394609\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot {t_{0}}^{2}+0,0101\cdot {t_{0}})}$

Somit ergibt sich die folgende Berechnung:

(Tabelle 11)

Jahr	to	Bevölkerungszahl
2000	0	82394609
2001	1	83230670
2002	2	84074524
2003	3	84926238
2004	4	85785875
2005	5	86653503
2006	6	87529188
2007	7	88412997
2008	8	89304998
2009	9	90205257
2010	10	91113844
2011	11	92030828
2012	12	92956278
2013	13	93890263
2014	14	94832855
2015	15	95784124
2016	16	96744141
2017	17	97712978
2018	18	98690708
2019	19	99677404
2020	20	100673138
2021	21	101677985
2022	22	102692019
2023	23	103715315
2024	24	104747948
2025	25	105789995
2026	26	106841531
2027	27	107902634

Schritt 2: Populationentwicklung anhand quadratischer Populationswachstumsrate

2.1 ohne Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

Die Parabelfunktion ɣ wurde aus den Daten, welche der Tabelle 8 zu entnehmen sind, geplottet.

Abb. 4:Säulendiagramm von Geburten und Schwangerschaftsabbrüche

$\gamma (t)=0,00001725\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0096$

$p'(t)=\gamma (t)\cdot p(t)$

$\Leftrightarrow {\frac {p(t)'}{p(t)}}=\gamma (t)$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\gamma (t)$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=0,00001725\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0096$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\int (0,00001725\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0096)$

$\Rightarrow (\ln(p(t)))=\lbrack {\frac {1}{3}}\cdot \ 0,00001725\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0096\cdot t+c\rbrack$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0096\cdot t+c)}$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0096\cdot t)}\cdot \underbrace {e^{c}} _{={\hat {c}}}$

$\Leftrightarrow p(t)={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0096\cdot t)}$

berechne nun ${\hat {c}}$:

${\hat {c}}=w_{2000}\cdot e^{-({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}+0,0096\cdot t_{0})}$

Hierbei entspricht $t_{0}=0$ , sowie $w_{2000}=82260000$ also der Bevölkerungszahl im Jahr 2000.

somit gilt also:

${\hat {c}}=82260000\cdot \underbrace {e^{-({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot {0}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {0}^{2}+0,0096\cdot 0)}} _{=e^{0}=1}$

$\Leftrightarrow {\hat {c}}=82260000$ ist somit die gesuchte Konstante

Rechne nun weiter mit der Formel:

$p(t_{0})={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}+0,0096\cdot {t_{0}})}$

$\Leftrightarrow p(t_{0})=82260000\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}+0,0096\cdot {t_{0}})}$

Somit ergibt sich die folgende Berechnung (Tabelle 12)

Jahr	to	Bevölkerungszahl
2000	0	82260000
2001	1	83041519
2002	2	83808209
2003	3	84562441
2004	4	85306697
2005	5	86043563
2006	6	86775729
2007	7	87505987
2008	8	88237228
2009	9	88972445
2010	10	89714729
2011	11	90467278
2012	12	91233391
2013	13	92016482
2014	14	92820077
2015	15	93647826
2016	16	94503509
2017	17	95391046
2018	18	96314508
2019	19	97278132
2020	20	98286331
2021	21	99343716
2022	22	100455110
2023	23	101625574
2024	24	102860424
2025	25	104165264
2026	26	105546009
2027	27	107008922

Mit der berechneten Geburtenrate (siehe Tabelle 10) lässt sich eine Parabel μ plotten.

2.1 mit Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

Abb. 5:Säulendiagramm von Geburten und Schwangerschaftsabbrüche

Die Parabelfunktion μ wurde aus den Daten, welche der Tabelle 8 zu entnehmen sind, geplottet

μ(t)=0,00001765*t^2-0,0003t+0,0112

$\mu (t)=0,00001765\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0112$

$p'(t)=\mu (t)\cdot p(t)$

$\Leftrightarrow {\frac {p(t)'}{p(t)}}=\mu (t)$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\mu (t)$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=0,00001765\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0112$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\int (0,00001765\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0112)$

$\Rightarrow (\ln(p(t)))=\lbrack {\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0112\cdot t+c\rbrack$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0112\cdot t+c)}$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0112\cdot t)}\cdot \underbrace {e^{c}} _{={\hat {c}}}$

$\Leftrightarrow p(t)={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0112\cdot t)}$

berechne nun ${\hat {c}}$:

${\hat {c}}=w_{2000}\cdot e^{-({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}+0,0112\cdot t_{0})}$

Hierbei entspricht $t_{0}=0$ , sowie $w_{2000}=82394609$ also der Bevölkerungszahl im Jahr 2000.

somit gilt also:

${\hat {c}}=82394609\cdot \underbrace {e^{-({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot {0}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {0}^{2}++0,0112\cdot 0)}} _{=e^{0}=1}$

$\Leftrightarrow {\hat {c}}=82394609$ ist somit die gesuchte Konstante

Rechne nun weiter mit der Formel:

$p(t_{0})={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}+0,0112\cdot {t_{0}})}$

$\Leftrightarrow p(t_{0})=82394609\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}+0,0112\cdot {t_{0}})}$

Somit ergibt sich die folgende Berechnung (Tabelle 13)

Jahr	to	Bevölkerungsanzahl
2000	0	82394609
2001	1	83335594
2002	2	84315525
2003	3	85338462
2004	4	86408669
2005	5	87530627
2006	6	88709059
2007	7	89948948
2008	8	91255568
2009	9	92634511
2010	10	94091716
2011	11	95633508
2012	12	97266634
2013	13	98998308
2014	14	100836260
2015	15	102788786
2016	16	104864811
2017	17	107073955
2018	18	109426601
2019	19	111933983
2020	20	114608275
2021	21	117462691
2022	22	120511600
2023	23	123770650
2024	24	127256917
2025	25	130989054
2026	26	134987477
2027	27	139274563

Modelierungszyklus 4

In dem vierten Zyklus unserer Modellierung nehmen wir eine Verbesserung des dritten Modellierungszyklus vor. Dies gelingt durch die Berücksichtigung der durchschnittlichen Sterberate S. S entspricht 0,0104888808. Nach Berücksichtigung der durchschnittlichen Sterberate ergeben sich folgende Ergebnisse:

Schritt 1: Lineare Funktion

1.1: ohne Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

$\lambda (t)=0,00001908\cdot t+0,0085$

$p'(t)=(\lambda (t)-s)\cdot p(t)$

$\Leftrightarrow {\frac {p(t)'}{p(t)}}=\lambda (t)-s$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\lambda (t)-s$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=0,00001908\cdot t+0,0085-0,0104888808$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\int (0,00001908\cdot t-0,0019888808)$

$\Rightarrow (\ln(p(t)))=\lbrack {\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot t^{2}-0,0019888808\cdot t+c\rbrack$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot t^{2}-0,0019888808\cdot t+c)}$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot t^{2}-0,0019888808\cdot t)}\cdot \underbrace {e^{c}} _{={\hat {c}}}$

$\Leftrightarrow p(t)={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot t^{2}-0,0019888808\cdot t)}$

berechne nun ${\hat {c}}$:

${\hat {c}}=w_{2000}\cdot e^{-({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot {t_{0}}^{2}-0,0019888808\cdot t_{0})}$

Hierbei entspricht $t_{0}=0$ , sowie $w_{2000}=82260000$ also der Bevölkerungszahl im Jahr 2000.

somit gilt also:

${\hat {c}}=82260000\cdot \underbrace {e^{-({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot {0}^{2}-0,0019888808\cdot 0)}} _{=e^{0}=1}$

$\Leftrightarrow {\hat {c}}=82260000$ ist somit die gesuchte Konstante

Rechne nun weiter mit der Formel:

$p(t_{0})={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot {t_{0}}^{2}-0,0019888808\cdot {t_{0}})}$

$\Leftrightarrow p(t_{0})=82260000\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot 0,00001908\cdot {t_{0}}^{2}-0,0019888808\cdot {t_{0}})}$

Somit ergibt sich folgende Rechnung: (Tabelle 14)

Jahr	to	Bevölkerungsanzahl
2000	0	82260000
2001	1	82097340
2002	2	81936566
2003	3	81777666
2004	4	81620633
2005	5	81465454
2006	6	81312123
2007	7	81160628
2008	8	81010962
2009	9	80863114
2010	10	80717076
2011	11	80572840
2012	12	80430395
2013	13	80289734
2014	14	80150849
2015	15	80013730
2016	16	79878371
2017	17	79744761

1.2: Lineare Funktion mit Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

Die Geburtenrate wurde dann erneut mittels Linearer Funktion ε approximiert

$\epsilon (t)=-0,000008205\cdot t+0,0101$

$p'(t)=(\epsilon (t)-s)\cdot p(t)$

$\Leftrightarrow {\frac {p(t)'}{p(t)}}=\epsilon (t)-s$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\epsilon (t)-s$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=-0,000008205\cdot t+0,0101-0,0104888808$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\int (-0,000008205\cdot t-0,0003888808)$

$\Rightarrow (\ln(p(t)))=\lbrack {\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot t^{2}-0,0003888808\cdot t+c\rbrack$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot t^{2}-0,0003888808\cdot t+c)}$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot t^{2}-0,0003888808\cdot t)}\cdot \underbrace {e^{c}} _{={\hat {c}}}$

$\Leftrightarrow p(t)={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot t^{2}-0,0003888808\cdot t)}$

berechne nun ${\hat {c}}$:

${\hat {c}}=w_{2000}\cdot e^{-({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot {t_{0}}^{2}-0,0003888808\cdot t_{0})}$

Hierbei entspricht $t_{0}=0$ , sowie $w_{2000}=82394609$ also der Bevölkerungszahl im Jahr 2000.

somit gilt also:

${\hat {c}}=82394609\cdot \underbrace {e^{-({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot {0}^{2}-0,0003888808\cdot 0)}} _{=e^{0}=1}$

$\Leftrightarrow {\hat {c}}=82394609$ ist somit die gesuchte Konstante

Rechne nun weiter mit der Formel:

$p(t_{0})={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot {t_{0}}^{2}-0,0003888808\cdot {t_{0}})}$

$\Leftrightarrow p(t_{0})=82394609\cdot e^{({\frac {1}{2}}\cdot -0,000008205\cdot {t_{0}}^{2}-0,0003888808\cdot {t_{0}})}$

Somit ergibt sich die folgende Berechnung: (Tabelle 15)

Jahr	to	Bevölkerungsanzahl
2000	0	82394609
2001	1	82362236
2002	2	82329200
2003	3	82295501
2004	4	82261142
2005	5	82226122
2006	6	82190443
2007	7	82154106
2008	8	82117110
2009	9	82079458
2010	10	82041150
2011	11	82002187
2012	12	81962570
2013	13	81922300
2014	14	81881378
2015	15	81839805
2016	16	81797582
2017	17	81754709

Schritt 2: anhand quadratischer Populationswachstumsrate

2.1 ohne Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

$\gamma (t)=0,00001725\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0096$

$p'(t)=(\gamma (t)-s)\cdot p(t)$

$\Leftrightarrow {\frac {p(t)'}{p(t)}}=\gamma (t)-s$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\gamma (t)-s$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=0,00001725\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0096-0,0104888808$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\int (0,00001725\cdot t^{2}-0,0003\cdot t-0,0008888808)$

$\Rightarrow (\ln(p(t)))=\lbrack {\frac {1}{3}}\cdot \ 0,00001725\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}-0,0008888808\cdot t+c\rbrack$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}-0,0008888808\cdot t+c)}$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}-0,0008888808\cdot t)}\cdot \underbrace {e^{c}} _{={\hat {c}}}$

$\Leftrightarrow p(t)={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}-0,0008888808\cdot t)}$

berechne nun ${\hat {c}}$:

${\hat {c}}=w_{2000}\cdot e^{-({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}-0,0008888808\cdot t_{0})}$

Hierbei entspricht $t_{0}=0$ , sowie $w_{2000}=82260000$ also der Bevölkerungszahl im Jahr 2000.

somit gilt also:

${\hat {c}}=82260000\cdot \underbrace {e^{-({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot {0}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {0}^{2}-0,0008888808\cdot 0)}} _{=e^{0}=1}$

$\Leftrightarrow {\hat {c}}=82260000$ ist somit die gesuchte Konstante

Rechne nun weiter mit der Formel:

$p(t_{0})={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}-0,0008888808\cdot {t_{0}})}$

$\Leftrightarrow p(t_{0})=82260000\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001725\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}-0,0008888808\cdot {t_{0}})}$

Somit ergibt sich die folgende Berechnung (Tabelle 16)

Jahr	to	Bevölkerungsanzahl
2000	0	82260000
2001	1	82199715
2002	2	82166954
2003	3	82164519
2004	4	82195244
2005	5	82262003
2006	6	82367725
2007	7	82515409
2008	8	82708131
2009	9	82949068
2010	10	83241511
2011	11	82588882
2012	12	83994758
2013	13	84462890
2014	14	84997227
2015	15	85601945
2016	16	86281471
2017	17	87040518

2.2 mit Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

$\mu (t)=0,00001765\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0112$

$p'(t)=(\mu (t)-s)\cdot p(t)$

$\Leftrightarrow {\frac {p(t)'}{p(t)}}=\mu (t)-s$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\mu (t)-s$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=0,00001765\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0112-0,0104888808$

$\Leftrightarrow (\ln(p(t)))'=\int (0,00001765\cdot t^{2}-0,0003\cdot t+0,0007111192)$

$\Rightarrow (\ln(p(t)))=\lbrack {\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0007111192\cdot t+c\rbrack$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0007111192\cdot t+c)}$

$\Leftrightarrow p(t)=\mathrm {e} ^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0007111192\cdot t)}\cdot \underbrace {e^{c}} _{={\hat {c}}}$

$\Leftrightarrow p(t)={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot t^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot t^{2}+0,0007111192\cdot t)}$

berechne nun ${\hat {c}}$:

${\hat {c}}=w_{2000}\cdot e^{-({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}+0,0007111192\cdot t_{0})}$

Hierbei entspricht $t_{0}=0$ , sowie $w_{2000}=82394609$ also der Bevölkerungszahl im Jahr 2000.

somit gilt also:

${\hat {c}}=82394609\cdot \underbrace {e^{-({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot {0}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {0}^{2}+0,0007111192\cdot 0)}} _{=e^{0}=1}$

$\Leftrightarrow {\hat {c}}=82394609$ ist somit die gesuchte Konstante

Rechne nun weiter mit der Formel:

$p(t_{0})={\hat {c}}\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}+0,0007111192\cdot {t_{0}})}$

$\Leftrightarrow p(t_{0})=82394609\cdot e^{({\frac {1}{3}}\cdot 0,00001765\cdot {t_{0}}^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 0,0003\cdot {t_{0}}^{2}+0,0007111192\cdot {t_{0}})}$

Somit ergibt sich die folgende Berechnung (Tabelle 17)

Jahr	to	Bevölkerungsanzahl
2000	0	82394609
2001	1	82348862
2002	2	82330676
2003	3	82342873
2004	4	82388308
2005	5	82469882
2006	6	82590552
2007	7	82753344
2008	8	82961368
2009	9	83217835
2010	10	83526072
2011	11	83889541
2012	12	84311863
2013	13	84796834
2014	14	85348454
2015	15	85970952
2016	16	86668813
2017	17	87446811

Fehlerberechnung zu den Zyklen 1-4

Um unsere Berechnungen in den Zyklen 1 bis 4 besser vergleichen zu können, haben wir im Folgenden jeweils den absoluten sowie den relativen Fehler für jedes Jahr von 2000 bis 2017 in allen Zyklen berechnet. Der $absolute\ Fehler$ gibt den Unterschied zwischen Messwert und dem wahren Wert an. Dieser errechnet sich durch die Formel: $\Delta x=x-x_{w}$ . Hierbei entspricht $x$ dem Messwert und $x_{w}$ dem wahren Wert. Der $relative\ Fehler$ ergibt sich aus dem Quotienten des absoluten Fehler und dem wahren Wert. Bei der Berechnung des relativen Fehlers ergibt sich dieser durch die Formel: $RelativerFehler\ in\ \%=({\dfrac {\Delta x}{x_{w}}})\cdot 100$ . Die Berechnungen der absoluten und der relativen Fehler lassen sich nur bis zu dem Jahr 2017 ermitteln, da zur Berechnung dieser der wahre Wert der Bevölkerungsanzahl benötigt wird und wir diesen nur bis zum Jahr 2017 von https://de.statista.com entnehmen konnten.

Zyklus 1

(Tabelle 18) Ohne Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler in %
2000
2001	252069	0,14
2002	191628	0,06
2003	118313	0,02
2004	117270	0,01
2005	50406	0,1
2006	22292	0,13
2007	52566	0,08
2008	973242	0,23
2009	37973	0,19
2010	139075	0,04
2011	1243616	1,66
2012	381889	0,34
2013	435626	0,41
2014	639699	0,66
2015	1130021	1,27
2016	534142	0,65
2017	389600	0,36

(Tabelle 19) Mit Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler in %
2000
2001	118670	0,31%
2002	52636	0,21%
2003	14027	0,14%
2004	8712	0,14%
2005	84450	0,06%
2006	105524	0,03
2007	69314	0,06
2008	191702	1,19
2009	155140	0,05
2010	29469	0,17
2011	1354191	1,55
2012	274253	0,47
2013	327784	0,54
2014	536401	0,79
2015	1031790	1,38
2016	435218	0,65
2017	293771	0,47

Zyklus 2

(Tabelle 20) Ohne Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

Jahr	Absoluter Fehler	Realtiver Fehler in %
2000
2001	251798	0,31
2002	191066	0,23
2003	117436	0,14
2004	116225	0,14
2005	49649	0,06
2006	21432	0,03
2007	51903	0,06
2008	73707	0,09
2009	38075	0,05
2010	139418	0,17
2011	1243179	1,55
2012	385643	0,48
2013	439038	0,54
2014	642756	0,79
2015	1131429	1,38
2016	533625	0,65
2017	388771	0,47

(Tabelle 21) Mit Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler in %
2000
2001	118917	0,14
2002	52881	0,06
2003	13978	0,02
2004	8860	0,01
2005	84342	0,1
2006	105655	0,13
2007	69451	0,08
2008	191789	0,23
2009	155170	0,19
2010	29617	0,04
2011	1354014	1,68
2012	275879	0,34
2013	329363	0,41
2014	538005	0,66
2015	1032302	1,25
2016	434989	0,53
2017	293628	0,35

Zyklus 3

(Tabelle 22) Ohne Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche (Linear)

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler in %
2000	0	0
2001	522982	0,63
2002	1136567	1,36
2003	1859849	2,25
2004	2616921	3,07
2005	3413878	4,14
2006	4278816	4,94
2007	5125832	6,23
2008	6100025	6,92
2009	7066496	8,64
2010	7891345	8,8
2011	10098765	12,57
2012	10694591	11,72
2013	11252197	13,93
2014	11630602	12,53
2015	11470913	13,96
2016	11952240	12,65
2017	12518694	15,12

(Tabelle 23) Mit Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche (Linear)

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler in %
2000	0	0
2001	655706	0,79
2002	1407137	1,7
2003	2266208	2,74
2004	3155225	3,82
2005	4091480	4,96
2006	5094478	6,18
2007	6078126	7,38
2008	7188514	8,75
2009	8292563	10,12
2010	9251413	11,3
2011	11593961	14,41
2012	12325463	15,29
2013	13020461	16,1
2014	13535140	16,65
2015	13508887	16,42
2016	14123420	17,09
2017	14819769	17,88

(Tabelle 24) Ohne Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche (Parabel)

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler in %
2000	0	0
2001	601519	0,73
2002	1271209	1,54
2003	2030441	2,46
2004	2805697	3,4
2005	3605563	4,37
2006	4460729	5,42
2007	5287987	6,43
2008	6235228	7,6
2009	7170445	8,77
2010	7962729	9,74
2011	10139278	12,62
2012	10709391	13,3
2013	11249482	13,93
2014	11622077	14,31
2015	11471826	13,96
2016	11981509	14,52
2017	12599046	15,22

(Tabelle 25) Mit Berücksichtigung der Schwangerschaftsabbrüche (Parabel)

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler in %
2000	0	0
2001	760630	0,92
2002	1648138	1,99
2003	2678432	3,24
2004	3778019	4,57
2005	4968604	6,02
2006	6274349	7,61
2007	7614077	9,25
2008	9139084	11,13
2009	10721817	13,09
2010	12229285	14,94
2011	15196641	18,89
2012	16635819	20,63
2013	18128506	22,42
2014	19538545	24,03
2015	20513549	24,93
2016	22244090	26,92
2017	24180746	29,17

Zyklus 4

(Tabelle 26) Linear ohne Berücksichtigung der Abbrüche

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler
2000	0	0
2001	342660	0,42
2002	600434	0,73
2003	754334	0,91
2004	880367	1,07
2005	972546	1,18
2006	1002877	1,22
2007	1057372	1,29
2008	991038	1,21
2009	938886	1,15
2010	1034924	1,27
2011	244840	0,3
2012	93605	0,12
2013	477266	0,59
2014	1047151	1,29
2015	2162270	2,63
2016	2643629	3,20
2017	3047239	3,68

(Tabelle 27) Linear mit Berücksichtigung der Abbrüche

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler
2000	0	0
2001	212728	0,26
2002	338187	0,41
2003	364529	0,44
2004	369508	0,45
2005	335901	0,41
2006	244267	0,30
2007	180765	0,22
2008	626	0,001
2009	166764	0,20
2010	178719	0,22
2011	1565320	1,95
2012	1331755	1,65
2013	1052498	1,30
2014	583663	0,72
2015	435432	0,53
2016	823139	1,00
2017	1138500	1,37

(Tabelle 28) Parabel ohne Berücksichtigung der Abbrüche

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler
2000	0	0
2001	240285	0,29
2002	370046	0,45
2003	367481	0,45
2004	305756	0,37
2005	175997	0,21
2006	52725	0,06
2007	297409	0,36
2008	706131	0,86
2009	1147068	1,40
2010	1489511	1,82
2011	2260882	2,81
2012	3470758	4,31
2013	3695890	4,58
2014	3799227	4,68
2015	3425945	4,17
2016	3759471	4,56
2017	4248518	5,13

(Tabelle 29) Parabel mit Berücksichtigung der Abbrüche

Jahr	Absoluter Fehler	Relativer Fehler
2000	0	0
2001	226102	0,27
2002	336711	0,41
2003	317157	0,38
2004	242342	0,29
2005	92141	0,11
2006	155842	0,19
2007	418473	0,51
2008	844884	1,03
2009	1305141	1,59
2010	1663641	2,03
2011	3452674	4,29
2012	3681048	4,57
2013	3927032	4,86
2014	4050739	4,98
2015	3695715	4,49
2016	4048092	4,90
2017	4553602	5,49

Abb. 6: Relativer Fehler ohne Schwangerschaftsabbrüche, linear

Abb. 7: Relativer Fehler mit Schwangerschaftsabbrüchen, linear

Modellierungsalternativen (A7)

Ein nächster Modellierungszyklus könnte zu unseren vorherigen Berechnungen Totgeburten mitberücksichtigen. Eine solche Totgeburt liegt vor, wenn nach der Geburt eines Embryos keine Anzeichen auf Leben von diesem zu erkennen sind oder sogenannte Mindermaße, welche sch auf die Körpergröße und das Körpergewicht beziehen, bei dem Geborenen zu erkennen sind. Wir haben in unserer Modellbildung mit den Anzahlen von Geburten, der Bevölkerung, Sterbefällen und Abtreibungen gearbeitet. Eine Alternative im Blick auf die Todgeburten wäre, diese als prozentuale Auswirkung auf die Anzahl der Abtreibungen mit einzubeziehen. Zudem könnten die Anzahlen von Einwanderern und Auswanderern ebenfalls berücksichtigt werden. Einwanderer, auch als Migranten bezeichnet sind Menschen, welche ihre ursprünglichen Wohnorte verlassen haben um an einem neuen Ort, in einem neuen Land Fuß zu fassen und sich dort dauerhaft oder für einen längeren Zeitraum nieder zu lassen. Auswanderer hingegen, auch Emigranten genannt, sind solche, die ihr Heimatland auf Dauer verlassen, ein anderes Land besiedeln und somit zu den sogenannten Einwanderern werden.

Resümee

Wir betrachten, um ein Resultat aus unserer mathematischen Modellbildung ziehen zu können, die sozialen Auswirkungen des demographischen Wandels. Die Anzahl der Geburten sowie die Anzahl der Sterbefälle haben, wie zuvor gezeigt, Auswirkungen auf die Population und somit auf das Sozialversicherungssystem in Deutschland. Je weniger Geburten, desto problematischer die Funktionalität des Sozialversicherungssystems und die damit verbundenen Renten-, Kranken- und Pflegeversicherungen sowie der Wirtschaft und der Siedlungsstruktur. Nach unseren Berechnungen ist es nach dem Ausbleiben von Schwangerschaftsabbrüchen zwar so, dass im Zukunftsausblick (bis 2027) immer noch mehr Menschen sterben als die Anzahl der Geburten plus die durchschnittlichen Schwangerschaftsabbrüche bis 2017, aber dennoch sinkt die Differenz der Sterbefälle und der Geborenen bei einem Ausbleiben der Schwangerschaftsabbrüche. Aufgrund der Berechnungen des relativen Fehlers ist davon auszugehen, dass die Bevölkerungsberechnung mittels der linearen Regression (Zyklus 4) am genausten berechnet wurde. Somit lässt sich anhand dieser Ergebnisse sagen, dass die Population im Zukunftsausblick, im Falle dass es weiterhin Schwangerschaftsabbrüche gibt, im Vergleich zur heutigen Situation abnimmt. Ein ähnliches Ergebnis ist ebenfalls zu errechnen, sollte es keine Schwangerschaftsabbrüche mehr geben. Dabei sinkt die Bevölkerungszahl im Vergleich zur aktuellen Population also ebenfalls. Jedoch ist diese Abnahme geringer und die Bevölkerungsanzahl sinkt insgesamt langsamer. Abschließend ist zu sagen, dass bei einem Ausbleiben der Schwangerschaftsabbrüche natürlich mehr junge Menschen geboren werden, die ihren Teil zu dem Sozialversicherungssystem im eintretenden Alter der Verantwortung beitragen. Im Umkehrschluss muss die Mehranzahl an geborenen Menschen bei Berücksichtigung eines Ausbleibens von Schwangerschaftsabbrüchen im Alter natürlich auch vom Sozialversicherungssystem unterstützt werden. Jedoch sinkt die Population in unserem Zukunftsausblick bis 2027 im Vergleich zur heutigen Situation so, dass man sagen kann, dass dieses System bei einem Ausbleiben von Schwangerschaftsabbrüchen weiterhin funktionieren sollte.

Einordnung der Modellierung in die Nachhaltigkeitsziele der Vereinten Nationen (A4)

SDG 3: Good Health and Well-being

Ein gesundes Leben soll für alle Menschen, auch für ungeborene Menschen, gewährleistet werden.

SDG 8: Decent Work and Economic Growth

Durch das Ausbleiben von Schwangerschaftsabbrüchen wächst die Bevölkerungszahl Deutschlands. Demzufolge existieren mehr Menschen, die im Hinblick auf das Wirtschaftswachstum dieses beeinflussen und zudem ihren Anteil auf dem deutschen Arbeitsmarkt beitragen.

SDG 10: Reduced Inequalities

Die Gesetzgebung sieht in allen Ländern der Erde unterschiedlich aus. Auch im Thema Schwangerschaftsabbrüche haben die verschiedenen Länder unterschiedliche Ansichten. Aus diesem Grund behandeln unterschiedliche Länder die Grenze des Zeitpunktes eines Schwangerschaftsabbruches sowie die möglichen Methoden für einen Schwangerschaftsabbruch unterschiedlich.

SDG 16: Peace, Justice and Strong Institutions

Wenn es keine Schwangerschaftsabbrüche mehr gibt, wird jedem ungeborenen Kind ein Recht auf Leben gegeben.

Literaturhinweise

• Engel, Joachim: Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion, Springer Spektrum 2018

• https://www-genesis.destatis.de/genesis/online/data;sid=418F0118D7CBD4EFD90330D3EFF6D5D8.GO_1_5?operation=abruftabelleBearbeiten&levelindex=1&levelid=1543411722562&auswahloperation=abruftabelleAuspraegungAuswaehlen&auswahlverzeichnis=ordnungsstruktur&auswahlziel=werteabruf&selectionname=23311-0001&auswahltext=&werteabruf=Werteabruf

• https://www-genesis.destatis.de/genesis/online/data;sid=834F8DDFB1D41E3211C8F3F7C88D9ABB.GO_1_4?operation=abruftabelleBearbeiten&levelindex=1&levelid=1543411806410&auswahloperation=abruftabelleAuspraegungAuswaehlen&auswahlverzeichnis=ordnungsstruktur&auswahlziel=werteabruf&selectionname=12612-0001&auswahltext=&werteabruf=Werteabruf

• https://www.destatis.de/DE/ZahlenFakten/GesellschaftStaat/Bevoelkerung/Geburten/Tabellen/LebendgeboreneGestorbene.html

• https://de.statista.com/statistik/daten/studie/161831/umfrage/gegenueberstellung-von-geburten-und-todesfaellen-in-deutschland/

• https://de.statista.com/statistik/daten/studie/232/umfrage/anzahl-der-schwangerschaftsabbrueche-in-deutschland/

• https://de.statista.com/statistik/daten/studie/156902/umfrage/sterbefaelle-in-deutschland/

• http://www.bpb.de/nachschlagen/lexika/das-junge-politik-lexikon/247469/einwanderung-immigration

• https://en.wikiversity.org/wiki/Sustainable_Development_Goals

• https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-46076-4_11

• https://lehrplaene.bildung-rp.de/?keyword=Mathematik

• https://www.inwt-statistics.de/blog-artikel-lesen/Einfache_lineare_Regression.html

• https://www.betanet.de/fehlgeburt-und-totgeburt.html

• http://www.bpb.de/izpb/55920/soziale-auswirkungen-der-demografischen-entwicklung?p=all