Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Homomorphismenmodul/Fakt/Beweis

Beweis

Die ${}S$-Modulstruktur auf der Homomorphismenmenge ist durch

${}(s\varphi )(a):=\varphi (sa)\,$

festgelegt. Nach der Definition der Kodifferente legt ${}a\in {\mathfrak {a}}^{*}$ in der Tat eine Abbildung nach ${}S$ fest. Die Injektivität folgt aus der vorausgesetzten Separabilität. Zum Nachweis der Surjektivität sei eine ${}R$-lineare Abbildung

$\theta \colon {\mathfrak {a}}\longrightarrow R$

gegeben. Diese können wir aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einer ${}K$-linearen Abbildung

$\theta \colon {\mathfrak {a}}_{R\setminus \{0\}}\cong L\longrightarrow R_{R\setminus \{0\}}\cong K$

fortsetzen, wobei der Isomorphismus links auf dem Beweis zu Fakt beruht. Da die Spur im separablen Fall eine nichtausgeartete Bilinearform definiert, gibt es ein ${}f\in L$ mit

${}\theta (x)=\operatorname {Spur} {\left(f\cdot x\right)}\,.$

Zur bewiesenen Aussage