Stetigkeit/D nach R/Punkt/Stammbrüche/Zehnerpotenzen/Aufgabe

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und ${}a\in D$ ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}f$ ist stetig in ${}a$.
2. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass aus

   ${}\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{m}}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$

   folgt.

3. Zu jedem ${}s\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ derart, dass aus

   ${}\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{10^{r}}}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{10^{s}}}\,$

   folgt.

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