Topologie und Geometrie/Grundbegriffe für Gitterpunktsatz/Zusammenstellung/Textabschnitt

Definition

Seien ${{}} v_1, \ldots , v_n$ linear unabhängige Vektoren im ${{}} \R^n$. Dann heißt die Untergruppe ${{}} \Z v_1 \oplus \ldots \oplus \Z v_n$ ein Gitter im ${{}} \R^n$.

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter.

Definition

Eine Teilmenge ${{}} T \subseteq \R^n$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${{}} P,Q \in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

${{}} rP+(1-r)Q \mbox{ mit } r \in [0,1] \, ,$

ebenfalls zu ${{}} T$ gehört.

Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex. Daher kann man definieren:

Definition

Zu einer Teilmenge ${{}} U \subseteq \R^n$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge ${{}} T$, die ${{}} U$ umfasst, die konvexe Hülle von ${{}} T$.

Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die ${{}} U$ umfassen.

Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus ${{}} U$ legt und die Schnur dann zusammen zieht.

Definition

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren ${{}} v_1, \ldots , v_n$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren ${{}} e_1v_1 + \ldots +e_nv_n$ mit ${{}} e_i \in \{0,1\}$ als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren ${{}} v_1, \ldots ,v_n$ erzeugten Parallelotops. Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form

${{}} r_1v_1 + \ldots + r_nv_n \mbox{ mit } r_i \in [0,1] \,$

Wir werden die Grundmasche häufig mit ${{}} \mathfrak M$ bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt ${{}} P$ nennt man die Menge ${{}} P+ {\mathfrak M}$ eine Masche des Gitters. Ein beliebiger Punkt ${{}} Q \in \R^n$ hat eine eindeutige Darstellung ${{}} Q=t_1v_1 + \ldots + t_nv_n$ und damit ist ${{}} Q = (\lfloor t_1 \rfloor v_1 + \ldots + \lfloor t_n \rfloor v_n) + ( (t_1 - \lfloor t_1 \rfloor) v_1 + \ldots + (t_n-\lfloor t_n \rfloor) v_n)$, wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam.

Definition

Eine Teilmenge ${{}} T \subseteq \R^n$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt ${{}} P \in T$ auch der Punkt ${{}} -P$ zu ${{}} T$ gehört.