Zu
und
bilden die eine offene Überdeckung von .
Für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ist unter gewissen Raumbedingungen
-
da die
(endlich vielen)
Zusammenhangskomponenten des Produktes die Produkte der Zusammenhangskomponenten sind.
Kokettenkomplexe
und .
-
mit
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auf einem Summanden durch
-
Zu
Cech-Komplex und Tensorprodukt der Cech-Komplexe.
ist
also
Dies enthält die Durchschnitte von
und
und die Durchschnitte von
und .
Es fehlen aber die Zweierdurchschnitte von
.
Diese kann man als Dreierdurchschnitte
-
erhalten.
Überdeckung von , zu
-
sei
.
Der entsprechende Schnitt sei . Die Kohomologieklassen
und
seien zur gleichen Überdeckung durch die Familie bzw. gegeben. Man muss definieren, also einen Kozyklel festlegen. D.h. für
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mit Elementen muss man festlegen. Es sei
das minimale Element in der induzierten Ordnung auf . Dann setzt man
-
Das Vorzeichen hängt davon ab, ob das zweitkleinste Element enthält oder nicht? Es wird also summiert über fast-disjunkte Zerlegungen von , wo das kleinste Element zu beiden Mengen gehört. Alternative Darstellung
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Die Elemente muss man über auffassen, man braucht einen kommutativen Ring.
-
Sei
und
-
mit glatten Funktionen. Dann ist die geschlossene Differentialform , die lokal als beschrieben wird, ein Urbild von .
Es ist
.
Dies wird lokal durch repräsentiert.
-
Hier ist