Die
reelle Sinusfunktion
induziert eine
bijektive,
streng wachsende
Funktion
-
und die
reelle Kosinusfunktion
induziert eine bijektive streng fallende Funktion
-
Beweis
Siehe
Aufgabe.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Beweis
Siehe
Aufgabe.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Aufgrund der Bijektivität von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens auf geeigneten Intervallen gibt es die folgenden Umkehrfunktionen.
Die
Umkehrfunktion
der reellen
Sinusfunktion
ist
-
und heißt Arkussinus.
Die
Umkehrfunktion
der reellen
Kosinusfunktion
ist
-
und heißt Arkuskosinus.
Der Arkustangens
Die
Umkehrfunktion
der reellen
Tangensfunktion
ist
-
und heißt Arkustangens.
Der Arkuskotangens
Die
Umkehrfunktion
der reellen
Kotangensfunktion
ist
-
und heißt Arkuskotangens.
Für den Arkustangens gilt beispielsweise nach
Fakt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(\arctan x)^{\prime }&={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{\frac {\cos ^{2}(\arctan x)+\sin ^{2}(\arctan x)}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3dbec9ef0cb321053d854dcb3411a664e73c69)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)