Varietät/Reguläre Funktionen/Elliptische Kurve/Kurzübersicht/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affine Varietät. Es sei ${}P\in V$ ein Punkt, ${}U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge mit ${}P\in U$ und es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Dann heißt ${}f$ algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt ${}P$, wenn es Elemente ${}G,H\in R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ gibt mit ${}P\in D(H)\subseteq U$ und mit

$f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H).$

Die Funktion ${}f$ heißt algebraisch (oder algebraisch auf ${}U$), wenn ${}f$ in jedem Punkt von ${}U$ algebraisch ist.

Sämtliche Polynome aus ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ kann man direkt als reguläre Funktionen auf einer affinen Teilmenge

${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

und ebenso auf einer jeden offenen Teilmenge ${}U\subseteq V({\mathfrak {a}})$ auffassen. Hier braucht man keine Nenner und auch keine von den Punkten abhängige Darstellung. Man kann sogar zeigen, dass auf einer affinen Varietät die Menge der regulären Funktionen mit dem Restklassenring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ übereinstimmt, falls ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikalideal ist, siehe Fakt.

Die Beschreibung der regulären Funkionen auf einer offenen Teilmenge

${}U\subseteq V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

ist besonders einfach, wenn der affine Koordinatenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ faktoriell ist, da dann die Bruchdarstellung ${}G/H$ nach Kürzung eindeutig ist. Der maximale Definitionsbereich von ${}G/H$ ist gleich ${}D(H)$.

Beispiel

Zu einer elliptischen Kurve in affiner kurzer Weierstraßform

${}y^{2}=x^{3}+ax+b=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$

besitzen die regulären Funktionen auf einer offenen Menge im Allgemeinen keine eindeutige Darstellung als Bruch. Die Kurvengleichung kann man beispielsweise direkt als

${}{\frac {y}{x-\lambda _{1}}}={\frac {(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})}{y}}\,$

interpretieren, und dies ergibt eine reguläre Funktion auf ${}D(x-\lambda _{1},y)$. Diese Funktion ist allein im Punkt ${}(\lambda _{1},0)$ nicht definiert.

Definition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ eine projektive Varietät, ${}U\subseteq Y$ eine offene Teilmenge und ${}P\in U$ ein Punkt. Dann heißt eine Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$

algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt ${}P$, wenn es eine offene affine Umgebung

${}P\in V\subseteq U\,$

derart gibt, dass die auf ${}V$ die eingeschränkte Funktion ${}f{|}_{V}$ algebraisch im Punkt ${}P$ ist. ${}f$ heißt algebraisch auf ${}U$, wenn ${}f$ in jedem Punkt aus ${}U$ algebraisch ist.

Zu einer offenen Menge ${}U$ bildet die Menge der auf ${}U$ definierten regulären Funktionen wieder eine kommutative ${}K$-Algebra, die mit ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ bezeichnet wird. Zu offenen Teilmengen ${}V\subseteq U$ gibt es die natürliche Restriktionsabbildung

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X}),$

die ein Ringhomomorphismus ist. Von nun an verstehen wir unter einer projektiven Varietät ein projektives Nullstellengebilde zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ der regulären Funktionen. Diese Konzepte übertragen sich sofort auf offene Teilmengen, was zum Begriff der quasiprojektiven Varietät führt.

Definition

Eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen nennt man eine quasiprojektive Varietät.

Insbesondere ist eine projektive Varietät aber auch eine affine Varietät quasiprojektiv. Letzteres folgt daraus, dass man eine affine Varietät ${}Y\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ zu einer projektiven Varietät ${}{\tilde {Y}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ fortsetzen kann, in der ${}Y$ eine offene Teilmenge ist.