Vollständig angeordneter Körper/R/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert (also in ${}K$ einen Grenzwert besitzt).

Definition

Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit ${}\mathbb {R}$ bezeichnet.

Die reellen Zahlen sind also ein vollständig und archimedisch angeordneter Körper. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle ${}\mathbb {R} _{1}$ und ${}\mathbb {R} _{2}$ gibt, die beide für sich genommen vollständig und archimedisch angeordnete Körper sind, so kann man eine (eindeutig bestimmte) bijektive Abbildung von ${}\mathbb {R} _{1}$ nach ${}\mathbb {R} _{2}$ angeben, die alle mathematischen Strukturen erhält (sowas nennt man einen Isomorphismus). Man kann auch sagen, dass die reellen Zahlen den größten archimedisch angeordneten Körper bilden (${}\mathbb {Q}$ ist der kleinste).

Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man die Vorstellung einer lückenfreien „kontinuierlichen Zahlengerade“ zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von ${}\mathbb {Q}$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Dedekindschen Schnitte oder die Menge der Cauchy-Folgen in ${}\mathbb {Q}$ mit einer geeigneten Identifizierung. Darauf werden wir hier verzichten.

Statt von einem vollständig und archimedisch angeordneten Körper werden wir von nun an von den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ sprechen. Als Beweismittel sind aber lediglich die genannten Axiome erlaubt.