Volterrasche Integralgleichung/Zweiter Art/Kern unabhängig von Integrationsvariable/Beispiel

Eine Integralgleichung der Form

${}x(s)=\int _{a}^{s}K(s)x(t)dt=K(s)\int _{a}^{s}x(t)dt\,,$

wo also der Integralkern nur von der Variablen ${}s$ abhängt, nach der nicht integriert wird, kann man wie folgt vorgehen. Alle Daten seien differenzierbar und gesucht sei nach differenzierbaren Funktionen. Es sei ferner ${}K(s)$ nullstellenfrei. Dann kann man die Gleichung auch als

${}{\frac {x(s)}{K(s)}}=\int _{a}^{s}x(t)dt\,$

schreiben und beidseitig ableiten. So erhält man die Bedingung

${}{\frac {x'(s)K(s)-x(s)K'(s)}{K(s)^{2}}}=x(s)\,$

bzw. durch Umstellung

${}x'(s)={\left(K(s)+{\frac {K'(s)}{K(s)}}\right)}x(s)\,,$

also eine homogene lineare Differentialgleichung, die mit Fakt gelöst werden kann.