Winkelhalbierende/Abstandsbedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}v$ und ${}w$ normiert sind. Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ . Nach Fakt ist

{}d(P,\mathbb {R} v)^{2}=\Vert {P}\Vert ^{2}-\left\langle P,v\right\rangle ^{2}\,

und entsprechend

{}d(P,\mathbb {R} w)^{2}=\Vert {P}\Vert ^{2}-\left\langle P,w\right\rangle ^{2}\,.

Also sind die Abstände genau dann gleich, wenn

{}\left\langle P,v\right\rangle =\pm \left\langle P,w\right\rangle \,

ist. Wenn

{}P=s(v+w)\,

ist, so ist

{}\left\langle P,v\right\rangle =\left\langle s(v+w),v\right\rangle =s+s\left\langle w,v\right\rangle =\left\langle s(v+w),w\right\rangle =\left\langle P,w\right\rangle \,

und die Gleichung gilt. Für die Umkehrung können wir

{}P=sv+tw\,

ansetzen. Bei

{}\left\langle P,v\right\rangle =\left\langle P,w\right\rangle \,

folgt

{}s+t\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle sv+tw,v\right\rangle =\left\langle sv+tw,w\right\rangle =t+s\left\langle v,w\right\rangle \,

und somit

{}s{\left(1-\left\langle v,w\right\rangle \right)}=t{\left(1-\left\langle v,w\right\rangle \right)}\,.

Da ${}v$ und ${}w$ normiert und linear unabhängig sind, ist nach Aufgabe

{}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert <1\,,

der rechte Faktor ist nicht ${}0$ und somit ist ${}s=t$ . Bei

{}\left\langle P,v\right\rangle =-\left\langle P,w\right\rangle \,

folgt mit einer ähnlichen Überlegung ${}s=-t$ .