Zahlbereich/Galoissch/Fundamentaleinheiten/Zwischenring/Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Galoiserweiterung mit zugehörigem Zahlbereich ${}R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Jedes System von Fundamentaleinheiten ist ein Algebraerzeugendensystem von ${}R$ über ${}\mathbb {Z}$.
2. Für jeden Zahlbereich ${}S\subset R$ ist der Rang der Einheitengruppe ${}S^{\times }$ echt kleiner als der Rang von ${}R^{\times }$.
3. Die Wirkung der Galoisgruppe auf ${}R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}$ ist treu.

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