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Zahlbereich/Regulator/Volumen/Fakt/Beweis

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Beweis

Zunächst ist wegen dem Beweis zu Fakt das Bild der Einheiten in der Tat ein Gitter in . Dabei steht senkrecht auf dem Vektor , dessen Länge ist gleich . Das kanonische Volumen auf (das durch die euklidische Struktur gegeben ist) des durch erzeugten Parallelotops (eben der Grundmasche) stimmt bis auf den Faktor mit dem Volumen des Parallelotops im überein, das zusätzlich von erzeugt wird (das Maß eines orthogonalen Zylinders ist Grundvolumen mal Höhe). Nach Fakt ist dieses Volumen der Betrag der Determinante der Matrix

Wenn man aus dieser Matrix, nennen wir sie , die erste Spalte und die letzte Zeile herausnimmt, so erhält man diejenige Matrix , deren Determinantenbetrag nach Definition der Regulator ist. Wir addieren nun zur letzten Zeile von nacheinander jede der übrigen Zeilen hinzu. Dies ergibt in der ersten Spalte den Eintrag und in den übrigen Spalten den Eintrag , da ja eben ist. Somit ist, da sich bei den Zeilenumformungen nach Fakt  (4) die Determinante nicht ändert, nach dem Entwicklungssatz

also