Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 20

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Inhaltsverzeichnis

Definition (Quadratischer Zahlbereich)  

Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von \mathbb Q vom Grad 2.

Quadratische Zahlbereiche sind zwar die einfachsten Zahlbereiche, sind aber keinwegs einfach, sondern zeigen bereits die Reichhaltigkeit der algebraischen Zahlentheorie.

Wir interessieren uns in der algebraischen Zahlentheorie insbesondere für folgende Fragen.

  1. Wann ist ein Zahlbereich R ein Hauptidealbereich und wann ist er faktoriell?
  2. Wenn R kein Hauptidealbereich ist, gibt es dann andere Versionen, die die eindeutige Primfaktorzerlegung ersetzen (ja: lokal und auf Idealebene).
  3. Wenn R kein Hauptidealbereich ist, kann man dann die Abweichung von der Eigenschaft, ein Hauptidealbereich zu sein, in irgendeiner Form messen? (ja: durch die sogenannte Klassengruppe).

Definition (quadratfreie Zahl)  

Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einfachem Exponent vorkommt.

Notation

Zu einer quadratfreien Zahl D \neq 0,1 bezeichnet man den zugehörigen quadratischen Zahlbereich, also den Ring der ganzen Zahlen in {\mathbb Q}[\sqrt{D}], mit

A_D \, .


Eine quadratischen Körpererweiterungen der rationalen Zahlen wird beschrieben durch ein normiertes irreduzibles Polynom, das man durch quadratisches Ergänzen auf die Form X2 − q bringen kann. Durch Multiplikation mit einem Quadrat (siehe Aufgabe 12.8) kann man q durch eine quadratfreie ganze Zahl ersetzen. Ein großer Unterschied besteht je nachdem, ob D positiv oder negativ ist. Im positiven Fall ist \sqrt{D} eine reelle irrationale Zahl, im negativen Fall handelt es sich um eine imaginäre Zahl. Man definiert:


Definition (Reell- und imaginär-quadratische Zahlbereiche)  

Sei D \neq 0,1 quadratfrei und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt AD reell-quadratisch, wenn D positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn D negativ ist.


Definition (Konjugation)  

Sei D eine quadratfreie Zahl und sei {\mathbb Q}[\sqrt{D}] die zugehörige quadratische Körpererweiterung und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf \Q[\sqrt{D}], auf \Z[\sqrt{D}] und auf AD)

a+b \sqrt{D} \longmapsto a -b \sqrt{D} \,
als Konjugation bezeichnet.

Wir bezeichnen die Konjugation von z mit \bar{z}.

Bemerkung (Konjugation)  

Im imaginär-quadratischen Fall, wenn also D < 0 ist, so ist \sqrt{D} = i \sqrt{-D} mit \sqrt{-D} reell. Die Konjugation schickt dies dann auf - \sqrt{D} = -i \sqrt{-D}, so dass diese Konjugation mit der komplexen Konjugation übereinstimmt. Im reell-quadratischen Fall allerdings hat die Konjugation \sqrt{D} \mapsto -\sqrt{D} nichts mit der komplexen Konjugation zu tun.


Bemerkung (Norm und Spur)  

Bei einer endlichen Körpererweiterung K \subseteq L werden Norm und Spur eines Elementes z \in L über die Determinante und die Spur der Multiplikationsabbildung f:L \rightarrow L definiert. Im Fall einer quadratischen Erweiterung {\mathbb Q} \subset {\mathbb Q}[\sqrt{D}] sind diese beiden Invarianten einfach zu berechnen: Da 1 und \sqrt{D} eine \mathbb Q-Basis bilden, ist z=a+b\sqrt{D} und damit ist die Multiplikationsmatrix gegeben durch

\begin{pmatrix} a & bD \\ b & a \end{pmatrix} \, .
Somit ist
N(z) = a^2-b^2 D = (a+b \sqrt{D})(a -b \sqrt{D}) \,
und
S(z) = 2a = (a+b \sqrt{D}) + (a -b \sqrt{D}) \, .



Lemma  

Sei {\mathbb Q} \subset L eine quadratische Körpererweiterung und f \in L. Dann ist f genau dann ganz über \Z, wenn sowohl die Norm als auch die Spur von f zu \Z gehören.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 18.4, aus Satz 15.15, und aus der Gestalt des Minimalpolynoms im quadratischen Fall.

\Box



Satz (Beschreibung quadratischer Zahlbereiche)  

Sei D eine quadratfreie Zahl und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt

A_D = {\mathbb Z}[\sqrt{D}], \mbox{ wenn } D= 2,3 \mod 4 \,
und
A_D= {\mathbb Z}[\frac{1+\sqrt{D} }{2}], \mbox{ wenn } D= 1 \mod 4 \, .

Beweis  

Sei x \in A_D gegeben, x=a+b \sqrt{D}, a,b \in {\mathbb Q}. Aus Lemma 20.8 folgt

N(x)= a^2- D b^2 \in {\mathbb Z} \text{ und } S(x)=2a \in {\mathbb Z} \, .
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass a = n / 2 ist mit n \in \Z. Sei b = r / s mit r,s teilerfremd, s \geq 1. Die erste Gleichung wird dann zu
\left(\frac{n}{2}\right)^2 - D \left(\frac{r}{s}\right)^2 = k \in \Z \,
bzw.
n^2 - 4 D \left(\frac{r}{s}\right)^2 = 4k \, .
Dies bedeutet, da r und s teilerfremd sind, dass 4D von s2 geteilt wird. Da ferner D quadratfrei ist, folgt, dass s = 1 oder s = 2 ist. Im ersten Fall ist n ein Vielfaches von 2 (da n2 ein Vielfaches von 4 ist), so dass x \in \Z[\sqrt{D}] ist.

Sei also s = 2, was zur Bedingung

n^2 - D r^2 = 4k \,
führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo 4. Bei n und r gerade ist x \in \Z[\sqrt{D}]. Die einzigen Quadrate in \Z/(4) sind 0 und 1, so dass für D=2,3 \mod 4 keine weitere Lösung existiert. Für D=1 \mod 4 hingegen gibt es auch noch die Lösung n=1 \mod 2 und r =1 \mod 2, also n und r beide ungerade. Diese Lösungen gehören alle zu {\mathbb Z}[\frac{1+\sqrt{D} }{2}].

Die umgekehrte Inklusion \Z[\sqrt{D}] \subseteq A_D ist klar, sei also D=1 \mod 4. Dann ist aber

\left(\frac{1 + \sqrt{D} }{2}\right)^2 - \frac{1 + \sqrt{D} }{2} = \frac{1+ D +2 \sqrt{D}-2-2 \sqrt{D} }{4} = \frac{D-1}{4} \in \Z \, ,
und dabei ist \frac{D-1}{4} eine ganze Zahl, so dass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über \Z ergibt.
\Box


In den im vorstehenden Satz beschriebenen Fällen kann man jeweils den Ring der ganzen Zahlen durch eine Gleichung beschreiben. Für D= 2,3 \mod 4 ist

A_D \cong {\mathbb Z}[X]/(X^2-D) \, .
Für D= 1 \mod 4 setzt man häufig \omega= \frac{1+\sqrt{D} }{2} für den Algebra-Erzeuger. Dieser Erzeuger erfüllt \omega ^2 - \omega - \frac{D-1}{4}. Wir haben also
A_D \cong {\mathbb Z}[\omega]/( \omega^2- \omega - \frac{D-1}{4}) \, .
Wie werden häufiger in beiden Fällen diese Ganzheitsbasis 1,ω nennen, mit \omega= \sqrt{D} im ersten Fall und \omega=\frac{1 + \sqrt{D} }{2} im zweiten Fall.



Lemma (Diskriminante von quadratischen Zahlbereichen)  

Sei D eine quadratfreie Zahl und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von AD gleich

\triangle = 4D , \mbox{ wenn } D= 2,3 \mod 4 \,
und
\triangle =D, \mbox{ wenn } D= 1 \mod 4 \, .

Beweis  

Im Fall D= 2,3 \mod 4 ist A_D=\Z[X]/(X^2-D) und daher bilden 1 und X eine Ganzheitsbasis. Die möglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise

\begin{pmatrix} 1 & X \\ X & D \end{pmatrix} \, .
Wendet man darauf die Spur an so erhält man
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2D \end{pmatrix} \,
und die Determinante davon ist 4D.

Im Fall D= 1 \mod 4 ist hingegen A_D =\Z[\omega]/(\omega^2-\omega - \frac{D-1}{4}) und eine Ganzheitsbasis ist 1 und ω. Die Matrix der Basisprodukte ist dann

\begin{pmatrix} 1 & \omega \\ \omega & \omega + \frac{D-1}{4} \end{pmatrix} \, .
Wendet man darauf die Spur an (die Spur von ω ist 1), so erhält man
\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 + \frac{D-1}{2} \end{pmatrix} \,
und die Determinante davon ist 2 (1+ \frac{D-1}{2}) -1 =2 +D-1-1=D.
\Box


Bemerkung (Faserring)  

Das Verhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung lässt sich aus der oben erzielten Beschreibung mit Gleichungen erhalten.

Bei D=2,3 \mod 4 hat man einfach

R/(p) = \Z/(p) [X]/(X^2-D ) \, ,
wobei man D durch D \mod p ersetzen kann. Ob über p ein oder zwei Primideale liegen hängt davon ab, ob D ein Quadratrest modulo p ist und ob p ungerade ist, und p ist prim genau dann, wenn D kein Quadratrest modulo p ist.

Bei D=1 \mod 4 hat man

R/(p) = \Z/(p) [\omega]/(\omega^2-\omega - \frac{D-1}{4} ) \, .
Ist p ungerade, so ist 2 eine Einheit in \Z/(p) und man kann quadratisch ergänzen. Dann ist
\omega^2-\omega - \frac{D-1}{4} = (\omega - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}- \frac{D-1}{4} = (\omega - \frac{1}{2})^2 - \frac{D}{4} \, .
Der Faserring hat daher die Form \Z/(p)[Y]/(Y^2- \frac{D}{4}) und nach Multiplikation der Gleichung mit der Einheit 4 kann man dies als \Z/(p)[Z]/(Z^2-D) schreiben, so dass es wieder darum geht, ob D ein Quadratrest modulo p ist.

Ist hingegen p = 2, so schreibt sich die Gleichung als ω2 + ω + c, wobei c = 1 ist, wenn D=5 \mod 8 ist, und c = 0, wenn D=1 \mod 8. Im ersten Fall ist die Gleichung irreduzibel über \Z/(2) und 2 ist prim in R, im zweiten Fall ist die Gleichung reduzibel und 2 zerfällt in zwei Primideale.


Damit können wir entscheiden, wie viele Primideale in AD über einer Primzahl p liegen. Wir wollen darüberhinaus genau beschreiben, wie das Zerlegungsverhalten einer Primzahl in einer quadratischen Erweiterung aussieht, und beginnen mit der Situation, wo p die Diskriminante teilt.



Lemma (Verzweigungsverhalten)  

Sei D eine quadratfreie Zahl und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Die Primzahl p sei ein Teiler der Diskriminante \triangle von AD. Dann gibt es oberhalb von p genau ein Primideal \mathfrak p und es ist {\mathfrak p}^2=(p)A_D.

Beweis  

Sei zunächst D= 2,3 \mod 4, so dass \triangle = 4D ist und als Primteiler p der Diskriminante 2 und die Teiler von D in Frage kommen. Es ist

A_D/(p) = (\Z[X]/(X^2-D)/(p)) = (\Z/(p)) [X]/(X^2-D) \, .
Bei p steht hier (\Z/(p)) [X]/(X^2) und dieser Ring hat das einzige Primideal (X) mit X2 = 0. Diesem Primideal entspricht in AD das Primideal {\mathfrak p}=(p,X). Es ist {\mathfrak p}^2= (p): Einerseits gilt für f \in {\mathfrak p}^2 im Faserring modulo p die Beziehung f \in (X^2)=0, woraus f \in (p) folgt. Andererseits ist X2 = D = up (in AD). Da D quadratfrei ist, ist u teilerfremd zu p und daher kann man mit 1 = ru + sp schreiben
p=p(ru+sp)=rup+sp^2 = rX^2+sp^2 \in {\mathfrak p}^2 \, .
Bei p = 2 gilt in \Z/(2)[X] die Beziehung (X − D)2 = X2 − D2 = X2 − D, so dass eine analoge Situation vorliegt.

Sei jetzt D= 1 \mod 4 und sei p ein Primteiler von \triangle=D. Es ist

A_D/(p) = (\Z[\omega]/(\omega^2- \omega - \frac{D-1}{4})/(p)) = (\Z/(p)) [\omega]/(\omega^2- \omega - \frac{D-1}{4}) \, .
Da D ungerade ist, ist 2 eine Einheit in \Z/(p), so dass man die Gleichung modulo p schreiben kann als
(\omega- \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{D-1}{4} = (\omega- \frac{1}{2})^2 -\frac{D}{4} = (\omega- \frac{1}{2})^2 \, ,
so dass wieder eine analoge Situation vorliegt.
\Box


Zu einem Ideal \mathfrak a bezeichnet \bar{\mathfrak a} das konjugierte Ideal, das aus allen konjugierten Elementen aus \mathfrak a besteht.



Satz (Verhalten von Primzahlen in quadratischen Erweiterungen)  

Sei D eine quadratfreie ZahlDefinition und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl p die folgenden drei Möglichkeiten:

  1. p ist prim in AD.
  2. Es gibt ein Primideal \mathfrak p in AD derart, dass (p)= \mathfrak{p}^2 ist.
  3. Es gibt ein Primideal \mathfrak p in AD derart, dass (p)= \mathfrak{p} \bar{\mathfrak{p} } ist mit {\mathfrak p} \neq \bar{ {\mathfrak p} }.

Beweis  

Sei R = AD. Wir betrachten den Restklassenring L = R / (p), der eine quadratische Erweiterung des Körpers \Z/(p) ist. Damit gibt es nach Lemma 19.9 die drei Möglichkeiten:

  1. L ist ein Körper.
  2. L ist von der Form L=\Z/(p)[\epsilon]/\epsilon^2.
  3. L ist der Produktring L \cong \Z/(p) \times \Z/(p).

Im ersten Fall ist p ein Primelement in R. Im zweiten Fall besitzt L genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring. Nach der in Lemma 20.12 bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal \mathfrak p mit (p) \subset \mathfrak p (das dem Ideal (ε) im Restklassenring entspricht). Dann ist {\mathfrak p}^2 = (p)(siehe den Beweis von 20.12).

Im dritten Fall besitzt L zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach R heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale \mathfrak p und \mathfrak q gibt mit (p) \subset \mathfrak p, \mathfrak q und mit (p) = {\mathfrak p} \cap { \mathfrak q}. Nach Aufgabe 18.8 ist {\mathfrak p} \cap { \mathfrak q} = {\mathfrak p} \cdot { \mathfrak q}. Mit (p) \subset \mathfrak p ist auch (p) \subset \bar{\mathfrak p}. Wir zeigen, dass \bar{\mathfrak p} = {\mathfrak q} ist, d.h., dass die beiden Primideale über p konjugiert vorliegen. Da nach dem Lemma 20.12 bei p der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass p die Diskriminate nicht teilt.

Bei D=2,3 \mod 4 ist p ungerade und D ist ein Quadratrest modulo p. Seien a und − a die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln modulo p. Dann werden die beiden Primideale durch (p, a \pm \sqrt{D}) beschrieben, und diese sind konjugiert.

Bei D=1 \mod 4 und p ungerade ist nach der Bemerkung 20.11 über die explizite Beschreibung der Faserringe D wieder ein Quadratrest modulo p. Seien a und − a die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln modulo p. Dann ist \omega - \frac{1}{2} = \pm \frac{a}{2} und daher sind die beiden Primideale gleich (p, \omega \pm a -\frac{1}{2}) = (p, \frac{a \pm \sqrt{D} }{2}), so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

Bei D=1 \mod 4 und p = 2 ist nach der Bemerkung 20.11 D = 1 \mod 8. Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann 0 und 1. Daher sind die Primideale darüber gegeben durch (2,ω) und (2,ω − 1). Es ist (2,\omega) = (2, \frac{\sqrt{D}+1}{2}) und (2, \omega - 1) = (2, \frac{\sqrt{D}+1}{2} - 1) = (2, \frac{\sqrt{D}-1}{2}), so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

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