In die Lernmodul werden Elemente mit kleinen Potenzen
und topologisch kleine Potenzen behandelt. Elemente, die kleine Potenzen besitzen sind ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen. Beide Klassen von Elementen sind permanent singulär. Topologisch Nullteiler stellenn ebenfalls ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen dar.
Die folgenden Sätze basieren auf den Ergebnissen von Zelazko (siehe "On permanent radicals in commutative locally convex algebras"[1]). Im englischen Original dienen diese Aussagen, angewandt auf lokalkonvexe Räume, dazu, dass permanente
Radikale als die Menge der Elemente mit kleinen Potenzen charakterisiert werden können. Dabei ist ein permanentes Radikal einer Algebra
die Menge der Elemente, die auch im Radikal jeder
Erweiterung
von
liegen.
Definition: Kleine Potenzen[Bearbeiten]
Sei
eine topologische Algebra über
. Ein Element
besitzt
kleine Potenzen (Bezeichnung:
), falls gilt:
![{\displaystyle \forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(0)}\exists _{\displaystyle n(U)\in \mathbb {N} }\forall _{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }:\lambda \cdot z^{n(U)}\in U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96684e78de46718b59dc1c4038e48bcd00048678)
Beipiel - Algebra mit kleinen Potenzen[Bearbeiten]
Sei
die Algebra von beliebigen Potenzreihen (nicht notwendig absolut konvergent) mit
Koeffizienten in
und den Halbnormen
![{\displaystyle \left\|p\right\|_{m}:=\sum _{k=0}^{m}|p_{k}|{\mbox{ mit }}p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eea4674180481b8cc0666fd95a4c859fdf8e644)
Die Algebra der Potenzreihen
ist eine vollständig metrisierbare kommuntative
-Algebra (d.h. multiplikativ
lokalkonvex). Eine Cauchy-Folge von Potenzreihe
in
mit
![{\displaystyle p^{(n)}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}^{(n)}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}p_{k}^{(n)}\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684511eae1f56893df6f60a62c7947e70fa0b915)
liefert zugleich auch komponentenweise für alle
Cauchy-Folgen
in
.
Komponentenweise Cauchy-Folgen[Bearbeiten]
Da
sind die Komponentenfolgen
konvergent gegen ein
. Die Potenzreihe
![{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}\lim _{n\to \infty }p_{k}^{(n)}=p_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debd8e2b79e8e0e564a3ac549185dc2ff220735f)
ist der Grenzwert ("Grenzpotenzreihe") der Cauchy-Folge
Topologische Nullteiler[Bearbeiten]
besitzt mit Ausnahme von
keine topologischen
Nullteiler. Außerdem besitzt
jedes singuläre Element (singuläre Elemente sind
hier Potenzreihen mit
) kleine Potenzen, also insbesondere für
mit
, denn für
gilt:
.
Invertierbare Potenzreihen[Bearbeiten]
Sei
eine Potenzreihe mit Koeffizienten in der reellen Zahlen
und mit
. So kann man die inverse formale Potenzreihe
induktiv
definieren. Sei
und die ersten
Koeffizienten der
Potenzreihe
seien bekannt, dann setzt man
![{\displaystyle q_{n+1}:=-{\frac {1}{p_{o}}}\cdot \sum _{k=1}^{n+1}p_{k}\cdot q_{n+1-k}\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5690a73286c47dcdf65a1a703e948ec6370d045)
Durch Ausmultiplizieren des Cauchyproduktes von
und
erhält man
.
Wenn die formale Potenzreihe
invers zu
ist, dann gilt:
![{\displaystyle p\cdot q=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e38621d6cb596049d2bdf40a25f2a710155a713)
mit
.
Aufgabe 1 - Inverse Potenzreihen[Bearbeiten]
Zeigen Sie, dass eine Potenzreihe
mit
bezüglich des Cauchyproduktes invertierbar ist! Zeigen Sie dazu, dass mit
- (1)
![{\displaystyle p_{0}\cdot q_{0}=1=e_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a14982e88f5b1bb1e8bbdee93d72fdd018bba7)
- (2)
für ![{\displaystyle n>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96)
folgt, dass die Koeffizienten die folgende Gestalt haben:
![{\displaystyle \displaystyle q_{0}:={\frac {1}{p_{0}}}{\mbox{ und }}q_{n}:=-{\frac {1}{p_{o}}}\cdot \sum _{k=1}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\in \mathbb {R} {\mbox{ für }}n>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfcdb5ca33004821f07c3e03234edaf64a7dc5b)
Aufgabe 2 - Elemente mit kleine Potenzen[Bearbeiten]
Das Polynom
mit
besitzt zwar kleine Potenzen in der Partialsummentopologie, aber
ist
aber kein topologischer Nullteiler in
.
Potenzreihenalgbren - Kleine Potenzen[Bearbeiten]
Sei
die Algebra von beliebigen Potenzreihen und das Polynom
mit
gegeben. Auf
ist das oben definierte Halbnormensystem
mit
![{\displaystyle \left\|p\right\|_{m}:=\sum _{k=0}^{m}|p_{k}|{\mbox{ mit }}p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eea4674180481b8cc0666fd95a4c859fdf8e644)
Dann gilt:
- Das Polynom
besitzt kleine Potenzen.
ist kein topologischer Nullteiler.
Zunächst wird gezeigt, dass
kleine Potenzen besitzt.
Beweis 1 - Kleine Potenzen[Bearbeiten]
Für alle
gilt
mit
. Also gilt
.
Beweis 2 - Topologische Nullteiler[Bearbeiten]
Angenommen
wäre ein topologischer Nullteiler in
, dann gibt es ein
, so dass
![{\displaystyle \displaystyle \inf _{\left\|q\right\|_{m}=1}\left\|q(t)\cdot t\right\|_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7380e1241e2cba2daf53db949dc14be315983903)
für alle
erfüllt ist.
Beweis 3 - Topologische Nullteiler - Widerspruch[Bearbeiten]
Das ist aber nicht möglich, denn es gilt
für alle
mit
die Bedingung:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}1&=&\left\|q(t)\right\|_{m}=\displaystyle \sum _{k=0}^{m}|q_{k}|{\mbox{ mit }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}\\&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{m+1}|q_{k-1}|=\left\|q\cdot r\right\|_{m+1}{\mbox{ mit }}q\cdot r(t):=\sum _{k=1}^{\infty }q_{k-1}\cdot t^{k}\\\\&\Rightarrow &\displaystyle \inf _{\left\|q\right\|_{m}=1}\left\|q\cdot r\right\|_{m+1}=1\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6062430fab4d0843a4a6cc86be665d5765f055bd)
Beweis 4 - Topologische Nullteiler - Widerspruch[Bearbeiten]
Darüber erhält man den Widerspruch
mit
.
Bemerkung: Banachalgebren[Bearbeiten]
In einer Banachalgebra oder auch lokalbeschränkten Algebren entspricht die Menge
genau der Menge aller nilpotenten Elemente von
, denn mit
folgt auch
.
Lemma: Produkte - kleine Potenzen[Bearbeiten]
Sei
eine topologische Algebra über
, dann besitzt
genau dann kleine Potenzen (
), falls gilt:
![{\displaystyle \forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}\exists _{\displaystyle n(U)\in \mathbb {N} }:A\cdot z^{n(U)}\subset U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c512f76592cffe63bcf0199bbba12ad36ea8a5d9)
Die Äquivalenzaussage gliedert sich in zwei Teile:
- (Beweisteil 1) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass
und man zeigt die Eigenschaft
für Nullumgebungen,
- (Beweisteil 2) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass
für Nullumgebungen und man zeigt, dass
gilt
Mit der Stetigkeit der Multiplikation gibt es für jede
Nullumgebung
ein
mit
. Nach der Definition von
gilt
![{\displaystyle \exists _{\displaystyle n(V)\in \mathbb {N} }\forall _{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }:\lambda \cdot z^{n(V)}\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad38f0b06902fb95422643685b4ba7205f8d480)
Anwendung - Nullumgebungen absorbierend[Bearbeiten]
Da
als Nullumgebung absorbierend ist, gibt es für alle
ein
mit
. Damit gilt
![{\displaystyle a\cdot z^{n(V)}=\underbrace {\lambda _{a}\cdot a} _{\in V}\cdot \underbrace {{\frac {1}{\lambda _{a}}}\cdot z^{n(V)}} _{\in V}\in V^{2}\subset U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2fe45492068c6444b9c9403f46eb9f98f1606d)
Mit
ergibt sich die erste Richtung des Beweises (Beweisteil 1).
Für die umgekehrte Beweisrichtung hat man als Voraussetzung die Eigenschaft, dass
für Nullumgebungen
erfüllt ist. Man muss nun zeigen, dass
gilt.
Wahl des Exponenten[Bearbeiten]
Für den Exponenten von
zu einer beliebigen Nullumgebung
setzt man den gesuchten Exponenten
, wobei
der Exponent für die Voraussetzung
der Umkehrung ist.
Teilmengenbeziehung[Bearbeiten]
Man erhält für ein beliebiges
folgende Teilmengenbeziehung:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\lambda \cdot \underbrace {z^{n}} _{=z^{n(U)+1}}&=&\lambda \cdot z\cdot z^{n(U)}\in \underbrace {(\mathbb {K} \cdot z)} _{\subset A}\cdot z^{n(U)}\\&\subset &A\cdot z^{n(U)}\subset U.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1c6de1f9b38455c716c51e2e720bb4142b3bf5)
Insgesamt folgt mit Beweisteil 1 die Äquivalenz
Lemma: Kleine Potenzen - Gaugefunktionale[Bearbeiten]
Sei
eine topologische Algebra über
, dann besitzt
genau dann kleine Potenzen (
), falls gilt:
![{\displaystyle \forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\displaystyle n(\alpha )\in \mathbb {N} }:\left\|z^{n(\alpha )}\right\|_{\alpha }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d831fa97d84c82c83902a57443cbb6abf9a73c1a)
Bemerkung: kleine Potenzen und Gaugefunktionale[Bearbeiten]
Mit dem Topologisierungslemma für Algebren wurde der Zusammenhang von stetigen Operationen auf der Algebra und den Eigenschaften von Gaugefunktionalen hergestellt. Diesen Zusammenhang verwendet man in natürlicher Weise in der Analysis mit dem Betrag und bei normierten Vektorräumen. Durch Gaugefunktionale kann man analog die topologischen Eigenschaften äquivalent ausdrücken. Dieses Vorgehen wird im Lemma oben auf Elemente mit kleinen Potenzen übertragen.
Aufgabe für Studierende[Bearbeiten]
Beweisen Sie das Lemma über kleine Potenzen und Gaugefunktionale unter Verwendung der Definition und Eigenschaft von Minkowski-Funktionalen für absorbierende Nullumgebungen.
KP-Lemma: höhere Potenzen[Bearbeiten]
Sei
, dann besitzt
genau dann kleine Potenzen (
), falls gilt:
![{\displaystyle \forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}\exists _{\displaystyle n(U)\in \mathbb {N} }\forall _{\displaystyle n\geq n(U),\lambda \in \mathbb {K} }:\lambda \cdot z^{n}\in U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7533f45f27b6e33564627a92d616f79f5ec5baf)
Beweisen Sie den obigen Satz unter Verwendung der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra.
- Starten Sie zunächst mit
-Gaugefunktionale, die submultiplikativ sind,
- Verallgemeinern Sie dann die Aussage für beliebige topologische Algebren über die Ungleichung:
![{\displaystyle \|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\alpha }\cdot \|y\|_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a4685d70e33451ad40ea6a2d0caa5c46d9710b)
KP-Lemma: Reihenkonvergenz[Bearbeiten]
Sei
, dann gilt:
![{\displaystyle z\in {\mathcal {KP}}(A)\,\Longleftrightarrow \,\forall _{\displaystyle (\lambda _{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} _{0}},\alpha \in {\mathcal {A}}}:\sum _{k=0}^{\infty }\left\|\lambda _{k}z^{k}\right\|_{\alpha }<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9952a2b9c63805dc5850bbf603c4d25a926428)
Beweis - Reihenkonvergenz[Bearbeiten]
Sei
, so gilt nach dem Lemma über kleine Potenzen - Gaugefunktionale für alle
![{\displaystyle \left\|z^{n(\alpha )}\right\|_{\alpha }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1228d58d3b7d358197c448de20ff9c1dc1720879)
Submultiplikative (p-)Gaugefunktionale[Bearbeiten]
Bei submultiplikativen Gaugefunktionalen gilt auch für alle
ebenfalls die Bedingung:
![{\displaystyle \left\|z^{n}\right\|_{\alpha }=\left\|z^{n-n(\alpha )}\cdot z^{n(\alpha )}\right\|_{\alpha }\leq \left\|z^{n-n(\alpha )}\right\|_{\alpha }\cdot \underbrace {\left\|z^{n(\alpha )}\right\|_{\alpha }} _{=0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe04a294e44d5fb9ee7c5fee37a0676a6f76993)
Mit der Submultiplikativität erhält man über (
-)Homogenität dann
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left\|\lambda _{k}z^{k}\right\|_{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}\cdot \left\|z^{k}\right\|_{\alpha }=\sum _{k=0}^{n(\alpha )-1}\lambda _{k}|^{p}\cdot \left\|z^{k}\right\|_{\alpha }<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c04e611c36230729e5f2e19ed2d4e5f5860f709)
Stetigkeit der Mulitplikation - (p-)Gaugefunktionale[Bearbeiten]
Bei submultiplikativen (
-)Gaugefunktionalen nutzt man die Stetigkeit der Multiplikation und es existiert ein
, sodass für alle
ebenfalls die Bedingung:
![{\displaystyle \left\|z^{n}\right\|_{\alpha }=\left\|z^{n-n(\beta )}\cdot z^{n(\beta )}\right\|_{\alpha }\leq \left\|z^{n-n(\beta )}\right\|_{\beta }\cdot \underbrace {\left\|z^{n(\beta )}\right\|_{\beta }} _{=0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3f4310d39970833c50928aa14ae0ee39b653fa)
Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man über (
-)Homogenität ebenfalls
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left\|\lambda _{k}z^{k}\right\|_{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}\cdot \left\|z^{k}\right\|_{\alpha }\sum _{k=0}^{n(\beta )-1}\lambda _{k}|^{p}\cdot \left\|z^{k}\right\|_{\alpha }<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b710c4b1bb17df2fb76f08f57681c696812dc45f)
Elemente ohne kleine Potenzen[Bearbeiten]
Ist
, dann existiert ein
,
so dass gilt:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{n\in \mathbb {N} }\exists _{m(n)\geq n,\lambda _{m(n)}\in \mathbb {K} }&:&\lambda _{m(n)}\cdot z^{m(n)}\notin U_{\alpha }\\&\Rightarrow &\left\|\lambda _{m(n)}\cdot z^{m(n)}\right\|_{\alpha }\geq 1.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa292b15cee8603f935ff78512045714e0a7483)
Durch die Indizierung mit
statt
summiert man nur über einen Teil der Reihe mit den von 0 verschiedenen Summanden. Damit erhält man insgesamt die Divergenz der Reihe über
![{\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\underbrace {\left\|\lambda _{m(n)}\cdot z^{m(n)}\right\|_{\alpha }} _{\geq 1}=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53e379ca06e94eb916a514699830d549d1e3e0f)
Insgesamt folgt die Äquivalenz der beiden Aussagen aus dem Lemma.
Satz: Kleine Potenzen - Ideal[Bearbeiten]
Sei
, dann ist
ein Ideal in
.
Mit dem Lemma über Produkte mit kleinen Elementen, erhält man
![{\displaystyle A\cdot {\mathcal {KP}}(A)\subset {\mathcal {KP}}(A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4e86f7f2b668e346e1c485614f1e36aae30913)
Multiplikation mit Skalaren[Bearbeiten]
Insbesondere gilt mit
und
für alle
auch
![{\displaystyle \mathbb {K} \cdot (\lambda \cdot z)^{n(U)}=\mathbb {K} \cdot \lambda ^{n(U)}\cdot z^{n(U)}\subset \mathbb {K} \cdot z^{n(U)}\subset U{\mbox{ mit }}\lambda \in \mathbb {K} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d4e0f32495c157a5dc3e34e7b3c927f4c6a8e2)
Additivität von zwei Elementen mit KP[Bearbeiten]
Es bleibt zu zeigen, dass auch die Summe von zwei Elementen aus
wieder kleine Potenzen besitzt.
Anwendung - Stetigkeit der Addition[Bearbeiten]
Wegen der Stetigkeit der Addition gibt es für jedes
ein
mit
. Mit der Definition von
gilt
für
:
![{\displaystyle \mathbb {K} \cdot x^{m(V)},\mathbb {K} \cdot y^{n(V)}\subset V{\mbox{ für alle }}V\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A}).(\ast )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9725b28de5458d433a779425cb3cbecf71a9cdc)
Maximum von Exponenten für KP-Elemente[Bearbeiten]
Man setzt
für alle
. Damit bleibt die Inklusion
nach Korollar \ref{CorKPn} erhalten, d.h. es ist
![{\displaystyle \mathbb {K} \cdot x^{k(V)},\mathbb {K} \cdot y^{k(V)}\subset V{\mbox{ für alle }}V\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a401d44a3c54cdb6d33a4286df4830af7c6eca5)
Betrachtung einzelner Summanden[Bearbeiten]
Multipliziert man
aus, so hat jeder Summand die Form
mit
oder
und geeignet gewählte Koeffizienten
.
Ausklammern von Faktoren mit minimalen Exponenten[Bearbeiten]
Klammert man bei den jeweiligen Summanden
bzw.
aus,
dann lässt sich die
faktorisierte Summe für passende
wie folgt schreiben:
![{\displaystyle \underbrace {a\cdot x^{k(V)}} _{\in V}+\underbrace {b\cdot y^{k(V)}} _{\in V}\in V+V\subset U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b826ecca8026ae4727bd6217df1cf6ff1d2c0165)
KP-Summen - kleine Potenzen[Bearbeiten]
Also gilt
und
ist ein
Ideal in
.
Bemerkung: Elemente mit kleinen Potenzen und Invertierbarkeit[Bearbeiten]
Das folgende Lemma bereitet die Aussage vor, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind. Dazu zunächst gezeigt, dass Elemente mit kleinen Potenzen in einer topogischen Algebra
nicht invertierbar sein können.
KP-Lemma: Invertierbarkeit[Bearbeiten]
Ein Element
mit
ist nicht invertierbar, d.h.
.
Beweis: Invertierbarkeit[Bearbeiten]
Beweis durch Widerspruch: Sei
.
Annahme: Sei
und sei
das inverse Element zu
.
Hausdorff-Eigenschaft und Stetigkeit der Multiplikation[Bearbeiten]
Da
Hausdorff'sch ist, gibt es eine Nullumgebung
, die das
Einselement
nicht enthält. Zu
kann man über die Stetigkeit der
Multiplikation auf
ein
finden mit
.
Anwendung der KP-Eigenschaft[Bearbeiten]
Aus
folgt für die Nullumgebung
![{\displaystyle \exists _{\displaystyle n(V_{_{e}})\in \mathbb {N} }\forall _{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }:\lambda \cdot z^{^{n(V_{e})}}\in U_{e}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9321910250eb60232a963e94d438a71697ecf275)
Weil jede Nullumgebung (also insbesondere auch
) absorbierend ist, gibt es ein
mit
![{\displaystyle \lambda _{_{n(V_{e})}}\cdot \underbrace {z^{^{-n(V_{e})}}} _{=\left(z^{-1}\right)^{^{n(V_{e})}}}\in V_{e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676b814603f068b4b5bb9d2af1bb07d7ee861fb7)
.
Widerspruch zu Annahme der Invertierbarkeit[Bearbeiten]
Damit ergibt sich der Widerspruch wie folgt:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}U_{e}\not \ni e&=&z^{-n(V_{e})}\cdot z^{n(V_{e})}\\&=&\underbrace {\lambda _{_{n(V_{e})}}\cdot z^{-n(V_{e})}} _{\in V_{e}}\cdot \underbrace {{\frac {1}{\lambda _{_{n(V_{e})}}}}\cdot z^{n(V_{e})}} _{\in V_{e}}\in V_{e}^{^{2}}\\&\in &V_{e}\cdot V_{e}=V_{e}^{2}\subset U_{e}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5738aef70bd09394d7de8f80b6b7f17da08f16)
Damit folgt die Behauptung.
KP-Lemma: permanent singulär[Bearbeiten]
Sei
mit
, dann ist
ein permanent singuläres Element.
Aufgabe für Studierende[Bearbeiten]
Zeigen Sie, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind!
- Hinweis 1: Verwenden Sie, dazu die Definition der Algebraerweiterung und beweisen Sie, dass ein Element mit kleinen Potenzen auch in jeder Algebraerweiterung
von
kleine Potenzen besitzt.
- Hinweis 2: Verwenden Sie das obige Lemma, dass Elemente mit kleinen Potenzen nicht invertierbar in einer Algebra
sein können.
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Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
- ↑ Zelazko Wieslaw, (1983) On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75, S. 265-272