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Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen

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Einführung

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In die Lernmodul werden Elemente mit kleinen Potenzen und topologisch kleine Potenzen behandelt. Elemente, die kleine Potenzen besitzen sind ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen. Beide Klassen von Elementen sind permanent singulär. Topologisch Nullteiler stellenn ebenfalls ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen dar.

Geschichte

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Die folgenden Sätze basieren auf den Ergebnissen von Zelazko (siehe "On permanent radicals in commutative locally convex algebras"[1]). Im englischen Original dienen diese Aussagen, angewandt auf lokalkonvexe Räume, dazu, dass permanente Radikale als die Menge der Elemente mit kleinen Potenzen charakterisiert werden können. Dabei ist ein permanentes Radikal einer Algebra die Menge der Elemente, die auch im Radikal jeder Erweiterung von liegen.

Definition: Kleine Potenzen

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Sei eine topologische Algebra über . Ein Element besitzt kleine Potenzen (Bezeichnung: ), falls gilt:


Beipiel - Algebra mit kleinen Potenzen

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Sei die Algebra von beliebigen Potenzreihen (nicht notwendig absolut konvergent) mit Koeffizienten in und den Halbnormen

Vollständigkeit

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Die Algebra der Potenzreihen ist eine vollständig metrisierbare kommuntative -Algebra (d.h. multiplikativ lokalkonvex). Eine Cauchy-Folge von Potenzreihe in mit

liefert zugleich auch komponentenweise für alle Cauchy-Folgen in .

Komponentenweise Cauchy-Folgen

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Da sind die Komponentenfolgen konvergent gegen ein . Die Potenzreihe

ist der Grenzwert ("Grenzpotenzreihe") der Cauchy-Folge

Topologische Nullteiler

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besitzt mit Ausnahme von keine topologischen Nullteiler. Außerdem besitzt jedes singuläre Element (singuläre Elemente sind hier Potenzreihen mit ) kleine Potenzen, also insbesondere für mit , denn für gilt: .

Invertierbare Potenzreihen

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Sei eine Potenzreihe mit Koeffizienten in der reellen Zahlen und mit . So kann man die inverse formale Potenzreihe induktiv definieren. Sei und die ersten Koeffizienten der Potenzreihe seien bekannt, dann setzt man

Durch Ausmultiplizieren des Cauchyproduktes von und erhält man .

Bemerkung

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Wenn die formale Potenzreihe invers zu ist, dann gilt:

mit .

Aufgabe 1 - Inverse Potenzreihen

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Zeigen Sie, dass eine Potenzreihe mit bezüglich des Cauchyproduktes invertierbar ist! Zeigen Sie dazu, dass mit

  • (1)
  • (2) für

folgt, dass die Koeffizienten die folgende Gestalt haben:

Aufgabe 2 - Elemente mit kleine Potenzen

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Das Polynom mit besitzt zwar kleine Potenzen in der Partialsummentopologie, aber ist aber kein topologischer Nullteiler in .

Potenzreihenalgbren - Kleine Potenzen

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Sei die Algebra von beliebigen Potenzreihen und das Polynom mit gegeben. Auf ist das oben definierte Halbnormensystem mit

Dann gilt:

  • Das Polynom besitzt kleine Potenzen.
  • ist kein topologischer Nullteiler.

Beweis

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Zunächst wird gezeigt, dass kleine Potenzen besitzt.

Beweis 1 - Kleine Potenzen

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Für alle gilt mit . Also gilt .

Beweis 2 - Topologische Nullteiler

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Angenommen wäre ein topologischer Nullteiler in , dann gibt es ein , so dass

für alle erfüllt ist.

Beweis 3 - Topologische Nullteiler - Widerspruch

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Das ist aber nicht möglich, denn es gilt für alle mit die Bedingung:

Beweis 4 - Topologische Nullteiler - Widerspruch

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Darüber erhält man den Widerspruch mit .

Bemerkung: Banachalgebren

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In einer Banachalgebra oder auch lokalbeschränkten Algebren entspricht die Menge genau der Menge aller nilpotenten Elemente von , denn mit folgt auch .

Lemma: Produkte - kleine Potenzen

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Sei eine topologische Algebra über , dann besitzt genau dann kleine Potenzen (), falls gilt:

Beweis

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Die Äquivalenzaussage gliedert sich in zwei Teile:

  • (Beweisteil 1) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass und man zeigt die Eigenschaft für Nullumgebungen,
  • (Beweisteil 2) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass für Nullumgebungen und man zeigt, dass gilt

Beweisteil 1

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Mit der Stetigkeit der Multiplikation gibt es für jede Nullumgebung ein mit . Nach der Definition von gilt

Anwendung - Nullumgebungen absorbierend

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Da als Nullumgebung absorbierend ist, gibt es für alle ein mit . Damit gilt

Exponent für z

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Mit ergibt sich die erste Richtung des Beweises (Beweisteil 1).

Beweisteil 2

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Für die umgekehrte Beweisrichtung hat man als Voraussetzung die Eigenschaft, dass für Nullumgebungen erfüllt ist. Man muss nun zeigen, dass gilt.

Wahl des Exponenten

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Für den Exponenten von zu einer beliebigen Nullumgebung setzt man den gesuchten Exponenten , wobei der Exponent für die Voraussetzung der Umkehrung ist.

Teilmengenbeziehung

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Man erhält für ein beliebiges folgende Teilmengenbeziehung:

Insgesamt folgt mit Beweisteil 1 die Äquivalenz

Lemma: Kleine Potenzen - Gaugefunktionale

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Sei eine topologische Algebra über , dann besitzt genau dann kleine Potenzen (), falls gilt:

Bemerkung: kleine Potenzen und Gaugefunktionale

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Mit dem Topologisierungslemma für Algebren wurde der Zusammenhang von stetigen Operationen auf der Algebra und den Eigenschaften von Gaugefunktionalen hergestellt. Diesen Zusammenhang verwendet man in natürlicher Weise in der Analysis mit dem Betrag und bei normierten Vektorräumen. Durch Gaugefunktionale kann man analog die topologischen Eigenschaften äquivalent ausdrücken. Dieses Vorgehen wird im Lemma oben auf Elemente mit kleinen Potenzen übertragen.

Aufgabe für Studierende

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Beweisen Sie das Lemma über kleine Potenzen und Gaugefunktionale unter Verwendung der Definition und Eigenschaft von Minkowski-Funktionalen für absorbierende Nullumgebungen.

KP-Lemma: höhere Potenzen

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Sei , dann besitzt genau dann kleine Potenzen (), falls gilt:

Beweisaufgabe

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Beweisen Sie den obigen Satz unter Verwendung der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra.

  • Starten Sie zunächst mit -Gaugefunktionale, die submultiplikativ sind,
  • Verallgemeinern Sie dann die Aussage für beliebige topologische Algebren über die Ungleichung:

KP-Lemma: Reihenkonvergenz

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Sei , dann gilt:

Beweis - Reihenkonvergenz

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Sei , so gilt nach dem Lemma über kleine Potenzen - Gaugefunktionale für alle

Submultiplikative (p-)Gaugefunktionale

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Bei submultiplikativen Gaugefunktionalen gilt auch für alle ebenfalls die Bedingung:

Mit der Submultiplikativität erhält man über (-)Homogenität dann

Stetigkeit der Mulitplikation - (p-)Gaugefunktionale

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Bei submultiplikativen (-)Gaugefunktionalen nutzt man die Stetigkeit der Multiplikation und es existiert ein , sodass für alle ebenfalls die Bedingung:

Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man über (-)Homogenität ebenfalls

Elemente ohne kleine Potenzen

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Ist , dann existiert ein , so dass gilt:

Reihendivergenz

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Durch die Indizierung mit statt summiert man nur über einen Teil der Reihe mit den von 0 verschiedenen Summanden. Damit erhält man insgesamt die Divergenz der Reihe über

Insgesamt folgt die Äquivalenz der beiden Aussagen aus dem Lemma.

Satz: Kleine Potenzen - Ideal

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Sei , dann ist ein Ideal in .

Beweis

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Mit dem Lemma über Produkte mit kleinen Elementen, erhält man

Multiplikation mit Skalaren

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Insbesondere gilt mit und für alle auch

Additivität von zwei Elementen mit KP

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Es bleibt zu zeigen, dass auch die Summe von zwei Elementen aus wieder kleine Potenzen besitzt.

Anwendung - Stetigkeit der Addition

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Wegen der Stetigkeit der Addition gibt es für jedes ein mit . Mit der Definition von gilt für :

Maximum von Exponenten für KP-Elemente

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Man setzt für alle . Damit bleibt die Inklusion nach Korollar \ref{CorKPn} erhalten, d.h. es ist

Betrachtung einzelner Summanden

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Multipliziert man aus, so hat jeder Summand die Form mit oder und geeignet gewählte Koeffizienten .

Ausklammern von Faktoren mit minimalen Exponenten

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Klammert man bei den jeweiligen Summanden bzw. aus, dann lässt sich die faktorisierte Summe für passende wie folgt schreiben:

KP-Summen - kleine Potenzen

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Also gilt und ist ein Ideal in .

Bemerkung: Elemente mit kleinen Potenzen und Invertierbarkeit

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Das folgende Lemma bereitet die Aussage vor, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind. Dazu zunächst gezeigt, dass Elemente mit kleinen Potenzen in einer topogischen Algebra nicht invertierbar sein können.

KP-Lemma: Invertierbarkeit

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Ein Element mit ist nicht invertierbar, d.h. .

Beweis: Invertierbarkeit

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Beweis durch Widerspruch: Sei .

Annahme: Sei und sei das inverse Element zu .

Hausdorff-Eigenschaft und Stetigkeit der Multiplikation

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Da Hausdorff'sch ist, gibt es eine Nullumgebung , die das Einselement nicht enthält. Zu kann man über die Stetigkeit der Multiplikation auf ein finden mit .

Anwendung der KP-Eigenschaft

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Aus folgt für die Nullumgebung

Weil jede Nullumgebung (also insbesondere auch ) absorbierend ist, gibt es ein mit

.

Widerspruch zu Annahme der Invertierbarkeit

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Damit ergibt sich der Widerspruch wie folgt:

Damit folgt die Behauptung.

KP-Lemma: permanent singulär

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Sei mit , dann ist ein permanent singuläres Element.

Aufgabe für Studierende

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Zeigen Sie, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind!

  • Hinweis 1: Verwenden Sie, dazu die Definition der Algebraerweiterung und beweisen Sie, dass ein Element mit kleinen Potenzen auch in jeder Algebraerweiterung von kleine Potenzen besitzt.
  • Hinweis 2: Verwenden Sie das obige Lemma, dass Elemente mit kleinen Potenzen nicht invertierbar in einer Algebra sein können.

Siehe auch

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Seiteninformation

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Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

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Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

  1. Zelazko Wieslaw, (1983) On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75, S. 265-272