In die Lernmodul werden Elemente mit kleinen Potenzen und topologisch kleine Potenzen behandelt. Elemente, die kleine Potenzen besitzen sind ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen. Beide Klassen von Elementen sind permanent singulär. Topologisch Nullteiler stellenn ebenfalls ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen dar.
Die folgenden Sätze basieren auf den Ergebnissen von Zelazko (siehe "On permanent radicals in commutative locally convex algebras"[1]). Im englischen Original dienen diese Aussagen, angewandt auf lokalkonvexe Räume, dazu, dass permanente
Radikale als die Menge der Elemente mit kleinen Potenzen charakterisiert werden können. Dabei ist ein permanentes Radikal einer Algebra die Menge der Elemente, die auch im Radikal jeder
Erweiterung von liegen.
Sei eine topologische Algebra über . Ein Element besitzt
kleine Potenzen (Bezeichnung: ), falls gilt:
Beipiel - Algebra mit kleinen Potenzen
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Sei die Algebra von beliebigen Potenzreihen (nicht notwendig absolut konvergent) mit
Koeffizienten in und den Halbnormen
Die Algebra der Potenzreihen ist eine vollständig metrisierbare kommuntative -Algebra (d.h. multiplikativ
lokalkonvex). Eine Cauchy-Folge von Potenzreihe in mit
liefert zugleich auch komponentenweise für alle Cauchy-Folgen in .
Da sind die Komponentenfolgen konvergent gegen ein . Die Potenzreihe
ist der Grenzwert ("Grenzpotenzreihe") der Cauchy-Folge
besitzt mit Ausnahme von keine topologischen
Nullteiler. Außerdem besitzt
jedes singuläre Element (singuläre Elemente sind
hier Potenzreihen mit ) kleine Potenzen, also insbesondere für mit , denn für gilt: .
Sei eine Potenzreihe mit Koeffizienten in der reellen Zahlen und mit . So kann man die inverse formale Potenzreihe induktiv
definieren. Sei und die ersten Koeffizienten der
Potenzreihe seien bekannt, dann setzt man
Durch Ausmultiplizieren des Cauchyproduktes von und erhält man
.
Wenn die formale Potenzreihe invers zu ist, dann gilt:
mit .
Zeigen Sie, dass eine Potenzreihe mit bezüglich des Cauchyproduktes invertierbar ist! Zeigen Sie dazu, dass mit
- (1)
- (2) für
folgt, dass die Koeffizienten die folgende Gestalt haben:
Aufgabe 2 - Elemente mit kleine Potenzen
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Das Polynom mit besitzt zwar kleine Potenzen in der Partialsummentopologie, aber ist
aber kein topologischer Nullteiler in .
Sei die Algebra von beliebigen Potenzreihen und das Polynom mit gegeben. Auf ist das oben definierte Halbnormensystem mit
Dann gilt:
- Das Polynom besitzt kleine Potenzen.
- ist kein topologischer Nullteiler.
Zunächst wird gezeigt, dass kleine Potenzen besitzt.
Für alle gilt mit . Also gilt .
Angenommen wäre ein topologischer Nullteiler in , dann gibt es ein
, so dass
für alle erfüllt ist.
Beweis 3 - Topologische Nullteiler - Widerspruch
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Das ist aber nicht möglich, denn es gilt
für alle mit die Bedingung:
Beweis 4 - Topologische Nullteiler - Widerspruch
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Darüber erhält man den Widerspruch mit .
In einer Banachalgebra oder auch lokalbeschränkten Algebren entspricht die Menge genau der Menge aller nilpotenten Elemente von , denn mit folgt auch .
Sei eine topologische Algebra über , dann besitzt genau dann kleine Potenzen (), falls gilt:
Die Äquivalenzaussage gliedert sich in zwei Teile:
- (Beweisteil 1) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass und man zeigt die Eigenschaft für Nullumgebungen,
- (Beweisteil 2) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass für Nullumgebungen und man zeigt, dass gilt
Mit der Stetigkeit der Multiplikation gibt es für jede
Nullumgebung
ein mit . Nach der Definition von gilt
Anwendung - Nullumgebungen absorbierend
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Da als Nullumgebung absorbierend ist, gibt es für alle ein
mit . Damit gilt
Mit ergibt sich die erste Richtung des Beweises (Beweisteil 1).
Für die umgekehrte Beweisrichtung hat man als Voraussetzung die Eigenschaft, dass für Nullumgebungen erfüllt ist. Man muss nun zeigen, dass gilt.
Für den Exponenten von zu einer beliebigen Nullumgebung setzt man den gesuchten Exponenten , wobei der Exponent für die Voraussetzung der Umkehrung ist.
Man erhält für ein beliebiges folgende Teilmengenbeziehung:
Insgesamt folgt mit Beweisteil 1 die Äquivalenz
Lemma: Kleine Potenzen - Gaugefunktionale
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Sei eine topologische Algebra über , dann besitzt genau dann kleine Potenzen (), falls gilt:
Bemerkung: kleine Potenzen und Gaugefunktionale
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Mit dem Topologisierungslemma für Algebren wurde der Zusammenhang von stetigen Operationen auf der Algebra und den Eigenschaften von Gaugefunktionalen hergestellt. Diesen Zusammenhang verwendet man in natürlicher Weise in der Analysis mit dem Betrag und bei normierten Vektorräumen. Durch Gaugefunktionale kann man analog die topologischen Eigenschaften äquivalent ausdrücken. Dieses Vorgehen wird im Lemma oben auf Elemente mit kleinen Potenzen übertragen.
Beweisen Sie das Lemma über kleine Potenzen und Gaugefunktionale unter Verwendung der Definition und Eigenschaft von Minkowski-Funktionalen für absorbierende Nullumgebungen.
Sei , dann besitzt genau dann kleine Potenzen (), falls gilt:
Beweisen Sie den obigen Satz unter Verwendung der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra.
- Starten Sie zunächst mit -Gaugefunktionale, die submultiplikativ sind,
- Verallgemeinern Sie dann die Aussage für beliebige topologische Algebren über die Ungleichung:
Sei , dann gilt:
Sei , so gilt nach dem Lemma über kleine Potenzen - Gaugefunktionale für alle
Submultiplikative (p-)Gaugefunktionale
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Bei submultiplikativen Gaugefunktionalen gilt auch für alle ebenfalls die Bedingung:
Mit der Submultiplikativität erhält man über (-)Homogenität dann
Stetigkeit der Mulitplikation - (p-)Gaugefunktionale
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Bei submultiplikativen (-)Gaugefunktionalen nutzt man die Stetigkeit der Multiplikation und es existiert ein , sodass für alle ebenfalls die Bedingung:
Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man über (-)Homogenität ebenfalls
Ist , dann existiert ein ,
so dass gilt:
Durch die Indizierung mit statt summiert man nur über einen Teil der Reihe mit den von 0 verschiedenen Summanden. Damit erhält man insgesamt die Divergenz der Reihe über
Insgesamt folgt die Äquivalenz der beiden Aussagen aus dem Lemma.
Sei , dann ist ein Ideal in .
Mit dem Lemma über Produkte mit kleinen Elementen, erhält man
Insbesondere gilt mit und für alle
auch
Es bleibt zu zeigen, dass auch die Summe von zwei Elementen aus
wieder kleine Potenzen besitzt.
Wegen der Stetigkeit der Addition gibt es für jedes
ein mit . Mit der Definition von gilt
für :
Maximum von Exponenten für KP-Elemente
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Man setzt für alle . Damit bleibt die Inklusion nach Korollar \ref{CorKPn} erhalten, d.h. es ist
Multipliziert man aus, so hat jeder Summand die Form
mit oder und geeignet gewählte Koeffizienten .
Ausklammern von Faktoren mit minimalen Exponenten
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Klammert man bei den jeweiligen Summanden bzw. aus,
dann lässt sich die
faktorisierte Summe für passende wie folgt schreiben:
Also gilt und ist ein
Ideal in .
Bemerkung: Elemente mit kleinen Potenzen und Invertierbarkeit
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Das folgende Lemma bereitet die Aussage vor, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind. Dazu zunächst gezeigt, dass Elemente mit kleinen Potenzen in einer topogischen Algebra nicht invertierbar sein können.
Ein Element mit ist nicht invertierbar, d.h. .
Beweis durch Widerspruch: Sei .
Annahme: Sei und sei das inverse Element zu .
Hausdorff-Eigenschaft und Stetigkeit der Multiplikation
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Da Hausdorff'sch ist, gibt es eine Nullumgebung , die das
Einselement nicht enthält. Zu kann man über die Stetigkeit der
Multiplikation auf ein finden mit .
Aus folgt für die Nullumgebung
Weil jede Nullumgebung (also insbesondere auch ) absorbierend ist, gibt es ein
mit
- .
Widerspruch zu Annahme der Invertierbarkeit
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Damit ergibt sich der Widerspruch wie folgt:
Damit folgt die Behauptung.
Sei mit , dann ist ein permanent singuläres Element.
Zeigen Sie, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind!
- Hinweis 1: Verwenden Sie, dazu die Definition der Algebraerweiterung und beweisen Sie, dass ein Element mit kleinen Potenzen auch in jeder Algebraerweiterung von kleine Potenzen besitzt.
- Hinweis 2: Verwenden Sie das obige Lemma, dass Elemente mit kleinen Potenzen nicht invertierbar in einer Algebra sein können.
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- ↑ Zelazko Wieslaw, (1983) On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75, S. 265-272