Der Satz zur p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräumen
stellt einen Zusammenhang zwischen p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie
her. Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung
exisitiert. Insgesamt ist Satz über p-Normierbarkeit zusammen mit dem Satz zur Quasinormierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen und Quasinormen (siehe Köthe, Lineare Räume[1])
Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit[Bearbeiten]
Jeder topologische Vektorraum ist genau dann
-normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:
.
Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Vektorräume[Bearbeiten]
Ein topologischer Vektorraum
ist genau dann
-normierbar, wenn dieser eine
-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit
.
Sei
-normierbar mit
-Norm
.
sei die
Menge der von der
-Norm erzeugten
-Kugeln um
.
Beweisschritt 1: Nullumgebung beschränkt[Bearbeiten]
Die Nullumgebung
ist beschränkt, denn
.
Beweisschritt 2: Homogenität - Dreieckungleichung[Bearbeiten]
Aus der Bedingung
und
der Definition der
-Norm folgt, dass
die Kugel
absolut
-konvex ist, denn es gilt für
und
:
![{\displaystyle \left\|\lambda x+\mu y\right\|\leq |\lambda |^{p}\cdot \underbrace {\left\|x\right\|} _{<\varepsilon }+|\mu |^{p}\cdot \underbrace {\left\|y\right\|} _{<\varepsilon }<(|\lambda |^{p}+|\mu |^{p})\cdot \varepsilon \leq \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab591d3d54184e7b80e51ef6c9ccade7e35fdd1)
Beweisschritt 3: Beschränkte Nullumgebung gegeben[Bearbeiten]
Sei umgekehrt
eine beschränkte
-konvexe Nullumgebung, dann enthält
mit der Stetigkeit der Skalarmultiplikation eine kreisförmige
Nullumgebung
.
Beweisschritt 4: p-konvexe Darstellung[Bearbeiten]
Sei nun
mit
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}x_{j}{\mbox{ mit }}x_{j}\in W\subset U{\mbox{ und }}\mu ^{p}:=\sum _{j=1}^{n}|\alpha _{j}|^{p}\leq 1\\\Longrightarrow x&=&\sum _{j=1}^{n}\underbrace {\frac {|\alpha _{j}|}{\mu }} _{=:\beta _{j}}\underbrace {\left({\frac {\alpha _{j}}{|\alpha _{j}|}}\mu x_{j}\right)} _{=:y_{j}\in W\subset U}{\mbox{ mit }}\left|{\frac {\alpha _{j}}{|\alpha _{j}|}}\cdot \mu \right|=\underbrace {\left|{\frac {\alpha _{j}}{|\alpha _{j}|}}\right|} _{=1}\cdot \underbrace {\mu } _{\leq 1}\leq 1.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc358ac6bb90f99a49227d8d8a352400f30e090)
Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung[Bearbeiten]
Man erhält somit eine "
-konvexe Darstellung" von Elementen aus der
absolut
-konvexen Menge
durch Elemente aus
, denn
![{\displaystyle x=\sum _{j=1}^{n}\beta _{j}y_{j}{\mbox{ mit }}y_{j}\in W\subset U,\ \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}^{p}=1,\ \beta _{j}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c4090fe6da17358a7d99483c028735b7cf000b)
Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung[Bearbeiten]
Da die
und
-konvex gewählt war, gilt
. Insgesamt enthält jede
-konvexe Nullumgebung eine absolut
-konvexe
Nullumgebung als Teilmenge und man kann daher
als absolut
-konvex
voraussetzen.
Beweisschritt 6: Minkowski-Funktionale beschränkter Mengen[Bearbeiten]
Das Minkowskifunktional
von der beschränkten
Menge
und
erzeugen die Topologie auf
.
Das Funktional
erfüllt die Bedingungen
aus Definition
p-Norm.
Beweisschritt 7: Dreiecksungleichung[Bearbeiten]
Es bleibt für
die Dreieckungleichung
zu zeigen:
![{\displaystyle \lambda :=\left\|x\right\|_{U}+\varepsilon \mu :=\left\|y\right\|_{U}+\varepsilon \varepsilon >0{\mbox{ beliebig }}\Longrightarrow {\frac {x}{\lambda }},{\frac {y}{\mu }}\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7774d3061899014d18d2baf77b05071cb35cfc1)
Beweisschritt 8: Absolut p-konvex[Bearbeiten]
Da
absolut
-konvex ist gilt:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {x+y}{(\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}}}&=&{\frac {\lambda }{(\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}}}\cdot {\frac {x}{\lambda }}+{\frac {\mu }{(\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}}}\cdot {\frac {y}{\mu }}\in U\\&\Longrightarrow &x+y\in (\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}\cdot U\\&\Longrightarrow &\left\|x+y\right\|\leq \lambda ^{p}+\mu ^{p}=(\left\|x\right\|_{U}+\varepsilon )^{p}+(\left\|y\right\|_{U}+\varepsilon )^{p}.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9ed965cd9d85ab5d9d11f9b6dc69bfc976a34d)
Da
beliebig gewählt war, folgt die Behauptung.
Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Algebren[Bearbeiten]
Ein topologischer Vektorraum
ist genau dann
-normierbar, wenn dieser eine
-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit
für die gilt:
![{\displaystyle \exists _{C>0}\forall _{x,y\in A}:\,\,\|x\cdot y\|_{p}\leq C\cdot \|x\|_{p}\cdot \|y\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4094ce205e48b266c7eea7ac0a3a204d278df875)
Beweisaufgabe für Studierende[Bearbeiten]
- Weisen Sie unter Verwendung des Satzes für die Äquivalenz der p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie und der Eigenschaft der Stetigkeit der Multiplikation die Ungleichung
![{\displaystyle \exists _{C>0}\forall _{x,y\in A}:\,\,\|x\cdot y\|_{p}\leq C\cdot \|x\|_{p}\cdot \|y\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4094ce205e48b266c7eea7ac0a3a204d278df875)
Beispiel: Folgenräume[Bearbeiten]
Sei
mit
als Folgenraum gegeben.
- Zeigen Sie, dass mit
die Menge
eine absolut
-konvexe Menge ist!
- Starten Sie mit
und zeigen Sie, dass
für
gilt.
Aufgabe: Endlichdimensionale p-normierbare Räume[Bearbeiten]
Sei
ein endlichdimensionaler Vektorraum, dessen Topologie
durch eine
-Norm
erzeugt wurde. Zeigen Sie, dass die Topologie auch durch eine äquivalente Norm
erzeugt werden kann.
- ↑ Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.
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