Der Satz zur p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräumen stellt einen Zusammenhang zwischen p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie her. Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung exisitiert. Insgesamt ist Satz über p-Normierbarkeit zusammen mit dem Satz zur Quasinormierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen und Quasinormen (siehe Köthe, Lineare Räume[1])
Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit
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Jeder topologische Vektorraum ist genau dann -normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:
- .
Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Vektorräume
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Ein topologischer Vektorraum ist genau dann -normierbar, wenn dieser eine -konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit .
Sei -normierbar mit -Norm .
sei die
Menge der von der -Norm erzeugten -Kugeln um .
Beweisschritt 1: Nullumgebung beschränkt
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Die Nullumgebung ist beschränkt, denn
.
Beweisschritt 2: Homogenität - Dreieckungleichung
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Aus der Bedingung und der Definition der -Norm folgt, dass
die Kugel absolut -konvex ist, denn es gilt für und :
Beweisschritt 3: Beschränkte Nullumgebung gegeben
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Sei umgekehrt eine beschränkte -konvexe Nullumgebung, dann enthält
mit der Stetigkeit der Skalarmultiplikation eine kreisförmige
Nullumgebung .
Beweisschritt 4: p-konvexe Darstellung
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Sei nun mit
Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung
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Man erhält somit eine "-konvexe Darstellung" von Elementen aus der
absolut -konvexen Menge durch Elemente aus , denn
Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung
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Da die und -konvex gewählt war, gilt . Insgesamt enthält jede -konvexe Nullumgebung eine absolut -konvexe
Nullumgebung als Teilmenge und man kann daher als absolut -konvex
voraussetzen.
Beweisschritt 6: Minkowski-Funktionale beschränkter Mengen
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Das Minkowskifunktional von der beschränkten
Menge und erzeugen die Topologie auf .
Das Funktional erfüllt die Bedingungen aus Definition
p-Norm.
Es bleibt für die Dreieckungleichung zu zeigen:
Da absolut -konvex ist gilt:
Da beliebig gewählt war, folgt die Behauptung.
Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Algebren
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Ein topologischer Vektorraum ist genau dann -normierbar, wenn dieser eine -konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit für die gilt:
- Weisen Sie unter Verwendung des Satzes für die Äquivalenz der p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie und der Eigenschaft der Stetigkeit der Multiplikation die Ungleichung
Sei mit als Folgenraum gegeben.
- Zeigen Sie, dass mit die Menge eine absolut -konvexe Menge ist!
- Starten Sie mit und zeigen Sie, dass für gilt.
Aufgabe: Endlichdimensionale p-normierbare Räume
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Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum, dessen Topologie durch eine -Norm erzeugt wurde. Zeigen Sie, dass die Topologie auch durch eine äquivalente Norm erzeugt werden kann.
- ↑ Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.
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