Lehrerbedarf in Deutschland

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Thema und Zielsetzung[Bearbeiten]

Nach Warnungen des Verbands Bildung und Erziehung (VBE) steuere Deutschland „sehenden Auges in einen pädagogischen Notstand“. Schätzungen des Lehrerverbands zufolge fehlen zu Beginn des Schuljahres 2019/20 an deutschen Schulen 15.000 Lehrerinnen und Lehrer. Bereits bis zum Jahr 2025 mangelt es laut einer Prognose von Die Zeit an etwa 200.000 Lehrkräften. Dieser Problematik widmet sich das folgende Projekt: Wie entwickeln sich die Schüler- und Lehrerzahlen in Grundschulen in den nächsten Jahren unter Berücksichtigung der Geburten- und Sterberate einzelner Jahrgänge? Welchen Einfluss hat die Wachstumsrate, die Migrationsentwicklungen berücksichtigt, auf die Schülerzahlen? Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Lehrerbedarf und altersbedingten Pensionierungen im Schulsystem? In diesem Modellierungsprojekt soll der Lehrerbedarf an deutschen Grundschulen bis zum Jahr 2046 prognostiziert werden. Dabei wird die Annahme getroffen, dass alle Kinder die Grundschule in vier Schuljahren durchlaufen.

Zuordnung zu Nachhaltigkeitszielen[Bearbeiten]

  • Quality Education
    • Eine qualitativ hochwertige Bildung kann nur gewährleistet werden, wenn es genügend ausgebildete Lehrkräfte in Schulen gibt, die das Wissen vermitteln. Ein deutschlandweiter Lehrermangel trägt nicht zum Erreichen dieses Zieles bei.
  • Decent Work and Economic Growth
    • Eine qualitätsvolle Lehre stellt die Weichen für ein zukünftiges Wirtschaftswachstum. Defizite in der Zahl der Lehrkräfte wirken sich negativ auf die Qualität der Bildung aus, sodass Schülerinnen und Schüler nicht angemessen auf die Gegebenheiten in der Gesellschaft und Wirtschaft vorbereitet werden können.
  • Reduced Inequalities
    • Da der Lehrermangel zwischen den einzelnen Bundesländer variiert, sollte das übergeordnetes Ziel sein, Ungleichheiten zwischen den Bundesländer auszugleichen. Damit könnte verhindert werden, dass sich die Situation in einzelnen Bundesländern dramatisch zuspitzt.
  • Peace, Justice and Strong Institutions
    • Die Institution Schule bildet nur dann eine starke Institution, wenn sie von einem ausreichend großen Lehrerkollegium getragen wird. Zur inklusive Bildung braucht es zusätzliches Fachpersonal, welches die Lehrkraft unterstützt und zum Gelingen einer Integration beiträgt.

Rohdaten[Bearbeiten]

Modellierungszyklus 1[Bearbeiten]

Geburtenzahlen in Deutschland nach Jahren
Jahr Geburten (absolut)
2011 662.685
2012 673.544
2013 682.069
2014 714.927
2015 737.575
2016 792.141
2017 784.901
2018 787.523

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/235/umfrage/anzahl-der-geburten-seit-1993/


Zur Bestimmung der Kindersterblichkeit in Deutschland wurden verschiedene Statistiken miteinander verglichen, wobei die Werte zwischen 3,4 und 3,8 Todesfällen je 1000 Geburten schwankten. Für den Modellierungszyklus wurde deshalb eine Kindersterblichkeitsrate von durchschnittlich 3,5 pro 1000 Geburten angenommen. Es ist davon auszugehen, dass aufgrund medizinischer Fortschritte die Kindersterblichkeit in den kommenden Jahren eher zurückgeht.

https://www.indexmundi.com/de/deutschland/kindersterblichkeit.html

https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_L%C3%A4nder_nach_Kindersterblichkeitsrate

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/810933/umfrage/kindersterblichkeit-in-den-eu-laendern/

Altersverteilung der Grundschullehrkräfte in Deutschland
Alter Anzahl der Grundschullehrkräfte
unter 30 18000
30-35 25728
35-40 25791
40-45 26466
45-50 32079
50-55 25905
55-60 24258
60-64 19737

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bildung-Forschung-Kultur/Schulen/Publikationen/Downloads-Schulen/allgemeinbildende-schulen-2110100187004.pdf?__blob=publicationFile&v=5

Verhältnis Schülerzahlen/Lehrerstellen
Jahr Grundschüler VZLE Schüler/VZLE
2008 3033300 164100 18,48
2009 2952700 160000 18,45
2010 2877100 165700 17,36
2011 2832100 166600 17,00
2012 2795600 168000 16,64
2013 2772100 168700 16,43
2014 2789200 170700 16,34
2015 2808900 172900 16,25
2016 2873300 176600 16,27
2017 2903600 180000 16,13
16,94

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bildung-Forschung-Kultur/Schulen/Publikationen/Downloads-Schulen/allgemeinbildende-schulen-2110100197004.pdf?__blob=publicationFile

Beschäftigungsstatus der Grundschullehrkräfte in Deutschland
Jahr Lehrer Vollzeit Teilzeit Stundenweise Summe VZLE
2010 103096 94782 30560 228438 162000 0,71
2011 104281 91776 31040 227097 163900 0,72
2012 103328 90146 31569 225043 163400 0,73
2013 103549 88140 30813 222502 164200 0,74
2014 104652 87009 31564 223225 165000 0,74
2015 105121 87521 30829 223471 164900 0,74
2016 105765 89002 29560 224327 165900 0,74
2017 107182 90445 28095 225722 167300 0,74
2018 107061 93015 29184 229260 170400 0,74
173400 0,73

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bildung-Forschung-Kultur/Schulen/Publikationen/Downloads-Schulen/allgemeinbildende-schulen-2110100197004.pdf?__blob=publicationFile

Modellierungszyklus 2[Bearbeiten]

Altersstruktur der deutschen Bevölkerung
Alter Anzahl
0-16 12073923
17-45 28733067
46-Ende 41481463

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1351/umfrage/altersstruktur-der-bevoelkerung-deutschlands/

Geburtenrate 1,57: https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bevoelkerung/Geburten/_inhalt.html

Kindersterblichkeit 0,0035: siehe Modellierungszyklus 1

Sterberate der Altersklasse der Eltern und Alten: https://www.hupfeld-software.de/dokuwiki/doku.php/dynasys:bevoelkerungsmodelle

Modellierungszyklus 3[Bearbeiten]

Absolutbevölkerung und Wachstum in Deutschland
Jahr Bevölkerung Wachstumsrate
1952 70 266 567 0.45 %
1953 70 571 092 0.43 %
1954 70 868 205 0.42 %
1955 71 164 714 0.42 %
1956 71 468 655 0.43 %
1957 71 789 287 0.45 %
1958 72 136 752 0.48 %
1959 72 521 379 0.53 %
1960 72 951 963 0.59 %
1961 73 433 078 0.66 %
1962 73 962 492 0.72 %
1963 74 529 442 0.77 %
1964 75 115 578 0.79 %
1965 75 700 752 0.78 %
1966 76 274 377 0.76 %
1967 76 832 446 0.73 %
1968 77 358 938 0.69 %
1969 77 824 636 0.60 %
1970 78 202 438 0.49 %
1971 78 475 692 0.35 %
1972 78 642 442 0.21 %
1973 78 716 494 0.09 %
1974 78 723 406 0.01 %
1975 78 690 628 -0.04 %
1976 78 635 900 -0.07 %
1977 78 564 600 -0.09 %
1978 78 475 721 -0.11 %
1979 78 365 866 -0.14 %
1980 78 232 272 -0.17 %
1981 78 074 948 -0.20 %
1982 77 901 359 -0.22 %
1983 77 734 900 -0.21 %
1984 77 612 114 -0.16 %
1985 77 568 393 -0.06 %
1986 77 620 943 0.07 %
1987 77 768 129 0.19 %
1988 78 005 660 0.31 %
1989 78 330 864 0.42 %
1990 78 736 514 0.52 %
1991 79 220 988 0.62 %
1992 79 779 840 0.71 %
1993 80 375 970 0.75 %
1994 80 941 393 0.70 %
1995 81 409 843 0.58 %
1996 81 741 836 0.41 %
1997 81 932 302 0.23 %
1998 82 002 008 0.09 %
1999 81 988 007 -0.02 %
2000 81 930 878 -0.07 %
2001 81 852 682 -0.10 %
2002 81 754 634 -0.12 %
2003 81 634 655 -0.15 %
2004 81 493 636 -0.17 %
2005 81 332 296 -0.20 %
2006 81 151 353 -0.22 %
2007 80 955 210 -0.24 %
2008 80 760 211 -0.24 %
2009 80 592 796 -0.21 %
2010 80 477 496 -0.14 %
2011 80 429 986 -0.06 %
2012 80 451 309 0.03 %
2013 80 523 746 0.09 %
2014 80 767 463 0.30 %
2015 81 197 537 0.53 %
2016 81 248 691 0.06 %
2017 81 299 878 0.06 %
2018 81 351 097 0.06 %
2019 81 402 348 0.06 %

https://countrymeters.info/de/Germany

Abb. 1: Prozentuale Wachstumsrate der Bevölkerung in Deutschland nach Jahren

Modellierungszyklen[Bearbeiten]

Modellierungszyklus 1[Bearbeiten]

Abb. 2: Flussdiagramm zur Übersicht des 1. Modellierungszyklus

Ziel des 1. Modellierungszyklus ist es, den Bedarf an Lehrkräften für Grundschulen bis 2046 über diskrete Rechnungen zu prognostizieren. Dazu wurden folgende Daten eingeholt:

  • Absolute Geburtenzahlen in Deutschland für die Jahre 2011 – 2018
  • Kindersterblichkeitsrate in Deutschland
  • Verhältnis von SuS pro Vollzeitlehrkraft
  • Altersstruktur der bediensteten Lehrkräfte für das Schuljahr 2018/19
  • Aufschlüsselung der Gesamtzahl an Lehrkräften in Vollzeit, Teilzeit und stundenweise


Ausgehend von den Daten des Statistischen Bundesamtes über die absoluten Geburtenzahlen in Deutschland für die Jahre 2010 – 2018 lassen sich die Einschulungen abzüglich der Kindersterblichkeitsrate bis 2040 bestimmen. Folglich ergibt sich die Zahl der Einschulungen als Differenz aus Geburten und Sterbezahl. Dabei wurden folgende Annahmen getroffen: Die Kinder werden 6 Jahre nach ihrer Geburt eingeschult, wobei vereinfacht von einer Kindersterblichkeit von konstant 3,5 pro 1000 Kindern ausgegangen wird. Genauer besagt die Kindersterblichkeitsrate, dass von 1000 lebendgeborenen Kindern eines Geburtenjahrgangs 3,5 in den ersten fünf Lebensjahren sterben. An dieser Stelle wurden die absoluten Sterbefälle auf ganze Zahlen gerundet. Aus den absoluten Geburtenzahlen werden mit Hilfe linearer Regression und Interpolation die Geburtenzahlen bis zum Jahr 2040 mit der Funktionsgleichung (mit t:=Jahreszahl) angenähert. Daraus resultieren die Einschulungen bis 2046, indem die Anzahl der Grundschüler an deutschen Grundschulen als Summe der in den letzten 4 Jahren eingeschulten Kinder errechnet wird. Nicht berücksichtigt werden weitere Todesfälle und Klassenwiederholungen während der Grundschulzeit.

Aus der statistischen Veröffentlichung der KMK „Schüler, Klassen, Lehrer und Absolventen der Schulen 2008 – 2017“ wurde berechnet, dass durchschnittlich 16 Grundschüler auf eine Vollzeitlehrstelle kommen. Will man die aktuelle Relation zwischen Schülern und Lehrern aufrechterhalten, so muss auch in den kommenden Jahren eine Vollzeitlehrerstelle auf 16 Schüler kommen. Somit ergibt sich: .

Aus einem weiteren Bericht geht hervor, wie sich die Vollzeitlehrereinheiten auf die in Vollzeit, Teilzeit und stundenweise beschäftige Lehrkräfte aufteilt. Über die Gesamtzahl der VZLE/Zahl der Beschäftigten ergibt sich eine durchschnittliche Beschäftigung einer jeden Lehrkraft zwischen 70% und 75%. Die Modellierung strebt auch für die kommenden 26 Jahre ein solches Verhältnis an und geht daher vom Mittelwert der vergangenen Jahre gerundet auf durchschnittliche 73%-Stellen aus. Daraus folgt, dass sich der gesamte Bedarf an Lehrkräften aus dem Quotienten ergibt.
Im letzten Schritt wird die Altersstruktur der bediensteten Lehrkräfte im Schuljahr 2018/19 im Alter zwischen 50 und 64 Jahren betrachtet. Hierbei wird von einer Gleichverteilung innerhalb der jeweils 5 Jahre umfassenden Altersstufen ausgegangen. Es gilt die folgende Annahme: Jeder Lehrer geht im Alter von 64 Jahren in Pension. Dienstunfähigkeit oder andere Gründe für ein frühzeitiges Ausscheiden aus dem Lehrerberuf bleiben unberücksichtigt. Die in der Altersverteilung auftauchenden über 65-Jährigen bleiben mit ihrer vergleichsweise geringen Anzahl von 1827 außen vor.

Der absolute Bedarf an Neueinstellungen von 2019 bis 2046 ergibt sich schließlich als Differenz der absoluten Lehrerzahlen und vorhandenen Lehrkräfte zuzüglich der altersbedingten Pensionierungen: Neueinstellungen = absolute Lehrerzahlen - vorhandene Lehrkräfte + Anzahl der Pensionierungen.

Eine wichtige Anmerkung an dieser Stelle sei folgendermaßen gegeben: Beim absoluten jährliche Bedarf an Neueinstellungen wird davon ausgegangen, dass der Bedarf aus dem vorhergehenden Jahr vollständig gedeckt wurde. Andernfalls würde sich der Bedarf an Neueinstellungen aufsummieren!

Ergebnisse
Jahr Geburten in Deutschland Sterbefälle (s=3,5/1000) Differenz (Überlebende eines Jahrgangs) Einschulungen mit 6 Jahren Gesamtzahl der Grundschüler Benötigte VZLE absoluter Lehrerbedarf (VZ,TZ, stundenweise) Pensionierungen Absoluter jährlicher Bedarf an Neueinstellungen
2010 677947 2373 675574
2011 662685 2319 660366
2012 673544 2357 671187
2013 682069 2387 679682
2014 714927 2502 712425
2015 737575 2582 734993
2016 792141 2772 789369 675574
2017 784901 2747 782154 660366
2018 787523 2756 784767 671187 229260
2019 815171 2853 812318 679682 2686808 167926 230035 3947 4722
2020 833465 2917 830548 712425 2723659 170229 233190 3947 7102
2021 851759 2981 848778 734993 2798287 174893 239579 3947 10336
2022 870053 3045 867008 789369 2916469 182279 249698 3947 14065
2023 888347 3109 885238 782154 3018941 188684 258471 3947 12720
2024 906641 3173 903468 784767 3091283 193205 264665 4852 11046
2025 924935 3237 921698 812318 3168607 198038 271285 4852 11472
2026 943229 3301 939928 830548 3209786 200612 274810 4852 8378
2027 961523 3365 958158 848778 3276410 204776 280515 4852 10556
2028 979817 3429 976388 867008 3358651 209916 287556 4852 11893
2029 998111 3493 994618 885238 3431571 214473 293799 5181 11424
2030 1016405 3557 1012848 903468 3504491 219031 300042 5181 11424
2031 1034699 3621 1031078 921698 3577411 223588 306285 5181 11424
2032 1052993 3685 1049308 939928 3650331 228146 312528 5181 11424
2033 1071287 3750 1067537 958158 3723251 232703 318771 5181 11424
2034 1089581 3814 1085767 976388 3796171 237261 325015 6416 12659
2035 1107875 3878 1103997 994618 3869091 241818 331258 6416 12659
2036 1126169 3942 1122227 1012848 3942011 246376 337501 6416 12659
2037 1144463 4006 1140457 1031078 4014930 250933 343744 6416 12659
2038 1162757 4070 1158687 1049308 4087850 255491 349987 6416 12659
2039 1181051 4134 1176917 1067537 4160770 260048 356230 5293 11536
2040 1199345 4198 1195147 1085767 4233690 264606 362473 5293 11536
2041 1217639 4262 1213377 1103997 4306610 269163 368717 5293 11536
2042 1235933 4326 1231607 1122227 4379530 273721 374960 5293 11536
2043 1254227 4390 1249837 1140457 4452450 278278 381203 5293 11536
2044 1272521 4454 1268067 1158687 4525370 282836 387446 5158 11401
2045 1290815 4518 1286297 1176917 4598289 287393 393689 5158 11401
2046 1309109 4582 1304527 1195147 4671209 291951 399932 5158 11401


Abb. 3: Absoluter Bedarf an Neueinstellungen in deutschen Grundschulen 2019-2046

Vorteile:

  • anschaulich für das Verständnis der durchgeführten Schritte
  • Filtern und Anpassen der umfangreichen Datenlage auf die Modellierungsziele


Nachteile:

  • Annahme einer linearen Geburtenentwicklung entspricht nicht der Realität
  • Gleichverteilung der Lehrkräfte innerhalb der Altersstufen ist ungenau

Modellierungszyklus 2[Bearbeiten]

Abb.4: Flussdiagramm zur Übersicht des 2. Modellierungszyklus

Ziel des 2. Modellierungszyklus ist es, die Einschulungen in Deutschland mittels einer dreigliedrigen Altersstruktur der Bevölkerung zu modellieren. Dabei wird die deutsche Bevölkerung in folgende Altersklassen gegliedert:

  • Kinder: 0- bis 16-Jährige (12.073.923)
  • Eltern: 17- bis 45-Jährige (28.733.067)
  • Alte: 46- Jährige bis zum Tod (41.481.463)


Man geht davon aus, dass sich nur die mittlere Altersklasse mit einer konstanten Geburtenrate von 1,57 Kindern pro Frau reproduziert. Zusätzlich wird auch die Sterberate für jede Kategorie als konstant angenommen, wobei die Sterberate beim Durchlaufen der Gruppen zunimmt. Als Startwerte dient die Altersaufschlüsselung der deutschen Bevölkerung aus dem Jahr 2018, aus der durch Summieren die Mächtigkeit der einzelnen Gruppen berechnet wurde. Zur Vereinfachung sind innerhalb der einzelnen Bevölkerungsgruppen alle Altersstufen, sowie Männer und Frauen gleichverteilt. In diesem Projekt konnte die letzte Altersgruppe vernachlässigt werden, da sie keine Auswirkungen auf die Anzahl der Einschulungen hat.

Legende für die Gleichungen
Bezeichnung Erläuterung
Kindern Anzahl der Kinder
Kindera entspricht Kinderalt, d.h. Anzahl der Kinder aus dem vorhergehenden Jahr
KinderE entspricht der Anzahl der Kinder, die in die Gruppe der Eltern übergehen
SterbefälleK Sterbefälle der Kinder
Elternn Anzahl der Eltern
Elterna entspricht Elternalt, d.h. Anzahl der Eltern aus dem vorhergehenden Jahr
ElternA entspricht der Anzahl der Eltern, die in die Gruppe der Alten übergehen
SterbefälleE Sterbefälle der Eltern
Alten Anzahl der Alten
Altea entspricht Altealt, d.h. Anzahl der Alten aus dem vorhergehenden Jahr
SterbefälleA Sterbefälle der Alten


Für die zukünftigen Änderungen der unterschiedlichen Altersgruppen ergibt sich folgendes diskretes Populationsmodell:

Hilfsgleichungen:

mit einer Geburtenrate von 1,57

mit einer Kindersterblichkeitsrate von 0,0035


Hilfsgleichungen:

mit einer Sterberate von 0,005


Der Vollständigkeit wegen wird an dieser Stelle noch die Differentialgleichung der letzten Altersklasse hinzugefügt, die allerdings ohne Verwendung bleibt:

Hilfsgleichungen:

mit einer Sterberate von 0,025


Aufgrund der Tatsache, dass die Einschulungen in 1-Jahres-Schritten stattfinden, wird als Schrittweite gewählt. Ausgehend von den berechneten Zahlen der Altersgruppe der Kinder für die Jahre 2019 bis 2046 mit oben genannter Differentialgleichung, wurden die Einschulungen als dieser Gruppe bestimmt. Aufgrund der Gleichverteilung entspricht das Ergebnis genau der Anzahl der 6-Jährigen. Alle nachfolgenden Schritte entsprechen denen des 1. Modellierungszyklus, wobei jedoch auch beim altersbedingten Berufsausstieg der Lehrerinnen und Lehrer Verbesserungen vorgenommen wurden.

Im 1. Modellierungszyklus wurde die Annahme getroffen, dass die Lehrkräfte in Deutschland innerhalb der 5-jährigen Altersstufen gleichverteilt sind. Dies entspricht allerdings nicht der Realität, da die Anzahl in der Gruppe der 60- bis 64-Jährigen beispielsweise durch frühzeitigen Ruhestand mit dem Alter abnimmt. Ähnliche Verschiebungen ergeben sich auch für andere Altersklassen. Auf Grundlage der Altersstufen wurde nun eine normierte Dichtefunktion entwickelt, die abschnittsweise linear zwischen den Grenzen 30 und 65 definiert ist. Dabei entspricht das Integral über der gesamten Funktion der Gesamtzahl der Grundschullehrkräfte in Deutschland. Um die Ausgangsfunktion zu normieren, wurde die Gesamtzahl der Grundschullehrkräfte in Deutschland durch das Integral der Ausgangsfunktion dividiert. Der entstandene Faktor wird schließlich mit der Ausgangsfunktion multipliziert, sodass eine normierte Dichtefunktion entsteht. Durch Auswählen einzelner Intervalle kann mit der entstandenen Funktion jeweils die Anzahl der Lehrkräfte eines bestimmten Alters ermittelt werden.


Abb. 5: Normierte Dichtefunktion zur genaueren Aufschlüsselung der Altersstruktur unter den Lehrkräften


https://www.geogebra.org/m/kmzva7tp

Die normierte Dichtefunktion approximiert die realen Werte der einzelnen Altersklassen recht genau, woraus ein realistischeres Bild für den Lehrerbedarf resultiert.

Die nachfolgende Tabelle fasst den jährlichen Bedarf an Neueinstellungen im Grundschulbereich zusammen.

Ergebnisse
Jahr Kinder Eltern Einschulungen mit 6 Jahren Gesamtzahl der Grundschüler benötigte VZLE absoluter Lehrerbedarf

(VZ, TZ, stundenweise)

Pensionierungen Absoluter jährlicher Bedarf an Neueinstellungen
2018 12073923 28733067 4165
2019 12099208 28308837 711718 4375
2020 12111433 27902844 712437 4585
2021 12111907 27513600 712465 2846851 177928 243737 4795
2022 12101815 27139752 711871 2848492 178031 243878 5005 5146
2023 12082232 26780072 710720 2847493 177968 243792 5215 5130
2024 12054134 26433440 709067 2844123 177758 243504 5425 5136
2025 12018404 26098842 706965 2838623 177414 243033 5618 5147
2026 11975843 25775352 704461 2831213 176951 242398 5712 5078
2027 11927178 25462132 701599 2822092 176381 241617 5788 5007
2028 11873068 25158415 698416 2811441 175715 240706 5865 4953
2029 11814109 24863507 694948 2799423 174964 239677 5941 4912
2030 11750841 24576775 691226 2786188 174137 238543 6044 4911
2031 11683755 24297642 687280 2771869 173242 237318 6305 5079
2032 11613294 24025584 683135 2756588 172287 236009 6591 5283
2033 11539861 23760122 678815 2740456 171278 234628 6878 5497
2034 11463818 23500823 674342 2723572 170223 233183 7165 5719
2035 11385495 23247288 669735 2706028 169127 231680 7384 5882
2036 11305191 22999156 665011 2687904 167994 230129 7191 5639
2037 11223175 22756097 660187 2669275 166830 228534 6930 5335
2038 11139691 22517810 655276 2650209 165638 226901 6670 5038
2039 11054960 22284021 650292 2630766 164423 225237 6409 4744
2040 10969181 22054478 645246 2611000 163188 223545 6177 4485
2041 10882535 21828952 640149 2590963 161935 221829 6117 4401
2042 10795184 21607234 635011 2570698 160669 220094 6085 4350
2043 10707276 21389132 629840 2550246 159390 218343 6054 4303
2044 10618942 21174469 624644 2529643 158103 216579 6023 4259
2045 10530303 20963087 619430 2508924 156808 214805 5995 4221
2046 10441467 20754836 614204 2488117 155507 213024 5988 4207

Abb. 6: Absoluter Bedarf an Neueinstellungen in deutschen Grundschulen von 2022-2046


Vorteile des vorliegenden Zyklus sind:

  • Berücksichtigung der Altersstruktur der Bevölkerung
  • Einfließen der Sterberate der reproduzierbaren Generation
  • realistischer als Zyklus 1
  • Altersverteilung der Lehrer wird nicht als Gleichverteilung angenommen, sondern mit Hilfe einer normierten Dichtefunktion dargestellt


Demgegenüber stehen folgende Nachteile:

  •     Annahme einer Gleichverteilung innerhalb der Alterskategorien
  •     Sterbe- und Geburtenraten werden als konstant angenommen
  •     Ausgehen von einer idealen Gesellschaft ohne äußere Einflüsse (fehlende Berücksichtigung der Migrationsentwicklung)


Modellierungszyklus 3[Bearbeiten]

Abb. 7: Übersicht 3. Zyklus als Flussdiagramm


Ziel des dritten Modellierungszyklus ist es, den Bedarf an Lehrkräften für Grundschulen bis 2046 mit Hilfe einer Differentialgleichung genauer zu prognostizieren. Dabei soll die Geburtenentwicklung ähnlich wie in Modellierungszyklus 2 über eine Differentialgleichung modelliert werden. Ausgehend von reellen Daten zur Wachstumsrate für die Bevölkerung Deutschlands von 1965 bis 2019, wurde eine Annäherung mit zyklischen Schwankungen durch die Cosinus-Funktion getroffen (t entspricht also im Folgenden den Jahreszahlen). https://www.geogebra.org/m/qmp9hwqh

Zusätzlich müssen die Angaben zur Wachstumsrate, die ausschließlich in Prozent vorliegen, durch Multiplikation mit dem Faktor 0,01 umgerechnet werden.

Für den Modellierungszyklus wurden die nachfolgenden Annahmen festgelegt: Die letzten vier Jahre von 2016 bis 2019 werden in der Funktion zur Wachstumsrate vernachlässigt, da diese ab 2016 in einem nahezu gleichbleibenden Verlauf abrupt absinkt.

Die Modellierung der Bevölkerungsentwicklung erfolgte auf Grundlage der hier aufgeführten Differentialgleichung: mit obengenannter Wachstumsfunktion.

Unter Zuhilfenahme von Octave wurde die Differentialgleichung mit dem expliziten Euler-Verfahren numerisch gelöst. Hierzu wurde als Ausgangswert für gewählt (siehe Skript).

Im nächsten Schritt wurden unter Verwendung des Mittelwerts der Geburtenrate der letzten 27 Jahre (Annahme: Geburtenrate bleibt annährend konstant und pendelt sich auf den Mittelwert ein!) die Geburtenzahlen bis 2046 aus den absoluten Bevölkerungszahlen modelliert . Die Modellierung erfolgte wie bei Zyklus 2 bis 2046, da die zyklischen Schwankungen der Wachstumsrate erst dann sichtbare Auswirkungen haben.


Alle anschließenden Schritte erfolgten analog zum Modellierungszyklus 2, eingeschlossen der Approximation der Pensionierungen.

clear all
format short
h=0.5;                                            %Schrittweite in Jahren
m=22                                              %Modellierung in Jahren

B_0=81351097;                                     %Ausgangsbevölkerung
t_0=0;                                            %Startzeitpunkt
n=m/h                                             %Anzahl der Iteration für Modellierung von 22 Jahren

dtB=@(t,y)(0.46*cos((t-1.36)*2*pi*(1/27.4))+0.18)*0.01*y %Gleichung für Bevölkerungsänderung

M(1,1)=t_0                                        %Startwerte für Eulerverfahren werden initialisiert
M(1,2)=2018
M(1,3)=B_0

for i=1:n                                         %Laufvariable läuft von 1 bis 22/h
  M(i+1,2)=M(1,2)+i*h                             %Spalte mit Jahren in Schrittweite h   
  M(i+1,3)=M(i,3)+h*dtB(M(i,1),M(i,3))            %Berechnung von neuer Bevölkerung nach h Jahren mit Differentialgleichung
  M(i+1,1)=M(i,1)+h                               %Jahresschritte Zähler
endfor
                                                  %Eulerverfahren zu Ende

for i=1:m+1
  N(i,:)=M((1/h)*(i-1)+1,:)                       %Abruf der Daten zu den vollen Jahren aus Matrix M
endfor

N(:,4)=N(:,3)*9*10^(-3)                           %Anzahl der Geburten

for i=1:m+1
  N(i+6,5)=N(i,4)*(1-(3.5/1000))                  %Anzahl der Einschulungen pro Jahr
endfor
E=[671187;679682;712425;734993;789369;782154]     %Einschulungen von 2018-2023 aus reelllen Werten übernommen
N(1:6,5)=E                                        %Übernahme der Daten aus E
for i=1:m+4
  N(i+3,6)=sum(N(i:i+3,5))                        %Anzahl der Grundschüler pro Jahr 
endfor
for i=1:7
  N(i+m,2)=N(i+m-1,2)+1                           %Tabelle wird durch Betrachtung der Einschulungen nach 6 JAhren um 6 Zeilen länger. Daher Anpassung der Jahresspalte
endfor

N(:,7)=(N(:,6)*(1/16))/0.73                       %Absoluter Lehrerbedarf bei 16 Schüler pro Lehrer und 73%-Stellen
R=[4165;4375;4585;4795;5005;5215;5425;5618;5712;5788;5865;5941;6044;6305;6591;6878;7165;7384;7191;6930;6670;6409;6177;6117;6085;6054;6023;5995;5988]
                                                  %Pensionäre pro Jahr (aus Dichtefunktion)
N(:,8)=R                                          %Pensionäre in Matrix eintragen
N(1:6,5)=E                                        %Einschulungen von 2018-2023 aus reelllen Werten übernommen
for i=1:m+3
  N(i+4,9)=N(i+4,7)-N(i+3,7)+N(i+4,8)             %Lehrerbedarf unter Berücksichtigung der Renter
end
plot(N(5:29,2),N(5:29,9))                         %Plotten der Daten
Ergebnisse
Jahr Bevölkerung Geburten Einschulungen mit 6 Jahren Gesamtzahl der Grundschüler benötigte VZLE absoluter Lehrerbedarf

(VZ, TZ, stundenweise)

Pensionierungen Absoluter jährlicher Bedarf

an Neueinstellungen

2018 81353115 732178 671187 4165
2019 81861904 736757 679682 4375
2020 82385906 741473 712425 4585 7740
2021 82905505 746150 734993 2798287 174893 239579 4795 11184
2022 83400999 750609 789369 2916469 182279 249698 5005 15123
2023 83853662 754683 782154 3018941 188684 258471 5215 13988
2024 84246824 758221 729615 3036131 189758 259943 5425 6897
2025 84566861 761102 734178 3035317 189707 259873 5618 5548
2026 84804048 763236 738878 2984826 186552 255550 5712 1389
2027 84953185 764579 743538 2946210 184138 252244 5788 2482
2028 85013946 765126 747982 2964576 185286 253816 5865 7437
2029 84990922 764918 752042 2982439 186402 255346 5941 7470
2030 84893351 764040 755568 2999129 187446 256775 6044 7473
2031 84734547 762611 758438 3014029 188377 258050 6305 7581
2032 84531099 760780 760565 3026612 189163 259128 6591 7668
2033 84301890 758717 761903 3036473 189780 259972 6878 7722
2034 84067020 756603 762448 3043353 190210 260561 7165 7754
2035 83846704 754620 762241 3047156 190447 260887 7384 7710
2036 83660220 752942 761366 3047957 190497 260955 7191 7260
2037 83524954 751725 759942 3045996 190375 260787 6930 6762
2038 83455581 751100 758117 3041666 190104 260417 6670 6299
2039 83463405 751171 756062 3035486 189718 259888 6409 5880
2040 83555872 752003 753955 3028076 189255 259253 6177 5543
2041 751979 3020113 188757 258571 6117 5435
2042 750307 3012302 188269 257903 6085 5416
2043 749094 3005334 187833 257306 6054 5457
2044 748471 2999851 187491 256837 6023 5554
2045 748542 2996413 187276 256542 5995 5701
2046 749371 2995477 187217 256462 5988 5908

Abb. 8: Absoluter Bedarf an Neueinstellungen in deutschen Grundschulen von 2020-2046


Vorteile:

  • Berücksichtigung der Migration durch die Wachstumsrate
  • zyklische Schwankungen der Bevölkerung realistischer
  • normierte Dichtefunktion spiegelt die Altersverteilung der Lehrkräfte besser wider

Nachteile:

  • zukünftige Migrationsentwicklungen werden nur bedingt berücksichtigt
  • Dienstunfähigkeit der Lehrkräfte wird vernachlässigt

Fazit[Bearbeiten]

Interpretation der Ergebnisse[Bearbeiten]


Abb. 9: Gegenüberstellung der Ergebnisse aus Zyklus 1-3


Sowohl bei Zyklus 1, als auch bei Zyklus 3 fließen bis zum Jahr 2028 teilweise noch reale Daten ein. (Der Geburtenjahrgang 2018 besucht 2028 die vierte Klasse.) Dadurch entstehen im Bereich von 2019 bis 2028 deutliche Sprünge, bevor sich die Modellierung schließlich komplett im Lehrerbedarf niederschlägt. Um die Zyklen angemessen vergleichen zu können, muss dementsprechend hauptsächlich der Verlauf ab 2028 betrachtet werden.

Kennzeichnend für den 1. Modellierungszyklus sind lineare Abschnitte über jeweils 5 Jahre, die durch die Annahme einer Gleichverteilung innerhalb der Altersstruktur der Lehrkräfte entstehen. Folglich ändert sich der Lehrerbedarf beim Übergang in die nächste Altersgruppe sprunghaft. Zyklus 1 prognostiziert den größten Lehrerbedarf, da die Geburtenentwicklung als linear steigend angenommen wird.

Nach Annahme des 2. Zyklus ist in den nächsten Jahren ein Rückgang der sich reproduzierenden Generation und damit der Einschulungen zu erwarten. Diese Tendenz überlagert sich mit der Altersstruktur der Lehrkräfte zu einem leichten Anstieg noch bis zum Jahr 2035 und anschließendem langsamen Rückgang.

Aufgrund der periodischen Wachstumsrate der Bevölkerung, die im 3. Modellierungszyklus angenommen wurde, ergibt sich auch hier ein Anstieg des Lehrerbedarfs bis 2035 und eine anschließende Abnahme.

Alle drei Zyklen haben gemeinsam, dass der Lehrerbedarf im Bereich um 2035 am höchsten ist und anschließend, im 1. Zyklus sprunghaft, in Zyklus 2 und 3 allmählich wieder abnimmt. Während die Tendenz im Jahr 2046 im 2. Zyklus noch leicht fallend ist, deutet sich im letzten Modellierungszyklus ein erneuter Anstieg an.

Bewertung[Bearbeiten]

Die Annahme einer linear steigenden Geburtenentwicklung, sowie die Altersgleichverteilung der Grundschullehrkräfte in Zyklus 1 entspricht kaum der Realität. Nichtsdestotrotz bot dieser Zyklus die Möglichkeit, ein Gespür dafür zu bekommen, wie allgemein mit der Datenlage umzugehen ist und von Geburtenzahlen auf den Lehrerbedarf geschlossen werden kann. Zu Verbesserung wurde im zweiten Modellierungszyklus die lineare Annahme verworfen und durch eine Bevölkerungsentwicklung unter Einbezug der groben Altersstruktur ersetzt. Zusätzlich wurde die Altersverteilung der Lehrkräfte durch eine normierte Dichtefunktion, welche die realen Bedingungen genauer widerspiegelt, verbessert. Daraus resultieren wirklichkeitsnahere Zahlen für die jährlichen Pensionierungen. Abschließend wurde unter Berücksichtigung der Wachstumsrate der deutschen Bevölkerung die Migration in den letzten 30 Jahren in Teilen einbezogen. Kritisch zu sehen ist hierbei, dass keine Aussage über die Migrationsentwicklung in Zukunft getroffen werden kann. Dennoch wird der 3. Modellierungszyklus durch seine periodischen Annahmen als am realistischsten angesehen.

Niveauzuordnung[Bearbeiten]

Sekundarstufe I:

Bezüge zum Rahmenlehrplan RLP
Daten suchen (Geburtenrate, Sterberate, Kindersterblichkeit, Altersverteilung der Bevölkerung) authentisches Zahlenmaterial wird zur Bearbeitung realitätsnaher Aufgaben herangezogen
Daten in Excel eintragen Schnelle Durchführung von Berechnungen mit unterschiedlichen Daten
Zu ausgewählten Daten Diagramme erstellen „Sachverhalte und Daten werden schnell und einfach visualisiert“
Mit vorhandenen Daten die Geburtenentwicklung für die nächsten Jahren mit Hilfe linearer Regression in Excel modellieren (Trendlinie einfügen) Schulung der Beschaffung von Informationen und der Bewertung von

Lösungswegen

Funktion für die Altersstruktur der Lehrkräfte abschnittsweise definieren (über 2-Punkt-Form der Gerade) → Normierung noch nicht möglich L4: Funktionaler Zusammenhang: Terme und Gleichungen (7/8)

„Terme zu Sachproblemen aufstellen, deren Struktur erfassen und für gegebene Werte ausrechnen“

Lineare Gleichungen lösen (Bsp.: nach wie vielen Jahren wird gemäß der Trendliniengleichung ein bestimmter y-Wert erreicht, d.h. wann ist die Kapazität für weiteres Bevölkerungswachstum ausgeschöpft.) L4: Funktionaler Zusammenhang: Terme und Gleichungen (7/8)

„Terme zu Sachproblemen aufstellen, deren Struktur erfassen und für gegebene Werte ausrechnen“


Sekundarstufe II:

Bezüge zum Rahmenlehrplan RLP
Mit GeoGebra eine Annäherung der Wachstumsfunktion für die Bevölkerung erstellen → Trigonometrische Funktionen (evtl. durch mehrfachen Vergleich mit den reellen Daten verifizieren) Geeignete mathematische Strukturen und Verfahren zur mathematischen Modellierung des Problems nutzen

„Kritische Reflexion und Bewertung des eingeschlagenen Lösungswegs“

Funktion für die Altersstruktur der Lehrkräfte in GeoGebra mittels Integration normieren → Bezug zur Stochastik Integralrechnung

„Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen“

Differentialgleichungen für das Bevölkerungsmodell mit 3 Altersklassen aufstellen Weiterführung der Differential- und Integralrechnung

„Beispiele für Differentialgleichungen

und deren Lösung angeben und erklären“

Zu ausgewählten Daten Diagramme erstellen zur Visualisierung und Interpretation von Daten


Universität

  • Erstellen eines Algorithmus für das explizite Euler-Verfahren in Octave
  • Differentialgleichungen aufstellen und mittels Octave numerisch lösen


Modellierungsalternativen[Bearbeiten]

Migration:

Nur im dritten Modellierungszyklus wurde die Migration durch die Wachstumsrate der Bevölkerung berücksichtigt. Als Verbesserung könnte die Altersstruktur der Migranten aufgeschlüsselt werden, um die Relevanz für die Anzahl der Einschulungen besser einschätzen zu können. In dieser Modellierung wurde aufgrund von Schwankungen in der Migrationsentwicklung darauf verzichtet, da sich politisch bedingte Migrationswellen und humanitäre Krisenfälle nicht prognostizieren lassen und somit das Ergebnis verfälschen könnten.


Lehrermangel statt Lehrerbedarf:

Im vorliegenden Projekt wurde der Lehrerbedarf für die kommenden Jahre modelliert. Um Aussagen darüber treffen zu können, wie viele Lehrkräfte tatsächlich fehlen, müsste jedoch der Lehrermangel betrachtet werden. Folglich sollten die Lehramtsstudierenden für das Grundschullehramt an deutschen Universitäten ermittelt werden, um vom Bedarf auf den Mangel zu schließen. Da allerdings keine aufschlussreichen Daten über die Gesamtzahl der studierenden Lehramtsanwärterinnen und Anwärter vorliegen und zudem vermehrt auch Quereinsteiger eingesetzt werden, ist eine genaue Modellierbarkeit dieses Zusammenhangs fragwürdig. Darüber hinaus ist eine Prognose für die Studierendenzahlen in den Jahren nach 2026 im Lehramtsbereich für Grundschulen stark von bildungspolitischen Entscheidungen abhängig und daher kaum möglich.


Dienstunfähigkeit:

Aufgrund mangelhafter Datenlage speziell für die Dienstunfähigkeit nach Alter der Lehrkräfte an deutschen Grundschulen, kann keine zuverlässige Prognose über die tatsächlichen Ausfälle gegeben werden. Um diesen Faktor dennoch einfließen zu lassen, könnte man in einem weiteren Modellierungszyklus versuchen, genauere Daten durch Kontaktaufnahme mit Bildungsinstitutionen zu recherchieren. Aus zeittechnischen Gründen konnte dieser Aspekt im vorliegenden Projekt nicht realisiert werden. Alternative Überlegungen waren, die Dienstunfähigkeit von Beamten (Daten vorhanden) auf Lehrkräfte zu übertragen. Dies erschien jedoch stark fehleranfällig, da die Dienstunfähigkeit der Beamten unter Umständen von denen der Lehrkräfte abweicht und nicht nur eine Gesamtzahl der Frühpensionierungen sondern auch eine Altersverteilung unter den betroffenen Lehrkräften von Nöten wäre.


Präzisere Altersstruktur:

Ebenfalls über eine Kontaktaufnahme mit Institutionen der Bildungspolitik ließe sich eine genauere Altersverteilung der bediensteten Lehrkräfte in Deutschland erfragen und Informationen darüber erlangen, welche Altersverteilung bei Neueinstellungen in den Schuldienst vorliegt, wodurch sich genauere Aussagen über die jährlichen Pensionierungen treffen ließen, was jährlich den größten Einfluss auf das Lehrkraftdefizit hat.

Literatur[Bearbeiten]