Beringter Raum/Morphismus/Modul/Rückzug/Textabschnitt
Zu einem Morphismus beringter Räume und einem -Modul ist die zurückgezogene Garbe im Allgemeinen kein -Modul.
Definition
Zu einem Morphismus beringter Räume und einem -Modul ist die zurückgezogene Modulgarbe als Vergarbung der Prägarbe
definiert.
Lemma
Es sei ein Morphismus beringter Räume und ein -Modul auf . Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Der zurückgezogene Modul ist ein -Modul.
- Es ist
- Zu einer lokal freien Garbe auf vom Rang ist eine lokale freie Garbe auf vom Rang .
- Zu einer offenen Teilmenge
ist
- Für einen Morphismus
in einen weiteren beringten Raum und einen -Modul ist .
- Zu einer offenen Teilmenge
ist
Beweis
Lemma
Es sei ein Morphismus beringter Räume. Es sei ein -Modul auf und ein -Modul auf .
Dann gibt es einen natürlichen Gruppenisomorphismus
Beweis
Dies folgt im Wesentlichen aus Aufgabe.
Lemma
Es seien und lokal beringte Räume und ein Morphismus lokal beringter Räume. Es sei eine invertierbare Garbe auf und ein Schnitt. Es sei der zurückgezogene Schnitt in der zurückgezogenen Garbe .
Dann gilt für die Invertierbarkeitsorte die Beziehung
Beweis
Dies folgt aus Fakt.
Lemma
Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und der zugehörige Schemamorphismus. Es sei ein -Modul.
Dann ist
Beweis
Lemma
Es sei ein Schemamorphismus.
Zu einem quasikohärenten -Modul ist eine quasikohärenter -Modul.
Beweis
Dies folgt direkt aus Fakt.
Lemma
Es sei ein standard-graduierter Ring und ein Restklassenring zu einem homogenen Ideal . Es sei
die zugehörige abgeschlossene Einbettung.
Dann gilt für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung
Beweis
Wir können direkt annehmen, dass
der standard-graduierte Polynomring über einem kommutativen Ring ist. Der homogene Restklassenhomomorphismus definiert einen -Modulhomomorphismus
Durch Adjunktion im Sinne von Fakt entspricht diesem ein -Modulhomomorphismus
Dieser ist ein Isomorphismus.
Eine direktere Beweismöglichkeit ergibt sich mit
Aufgabe.