K-Spektrum/D(f)/Eigenschaften/Textabschnitt

Satz

Sei ${{}} K$ ein Körper und sei ${{}} R$ eine endlich erzeugte ${{}} K$-Algebra, ${{}} f \in R$.

Dann ist die Zariski-offene Menge ${{}} D(f) \subseteq K-\operatorname{Spek}\, (R)$ in natürlicher Weise isomorph zu ${{}} K-\operatorname{Spek}\, (R_f)$.

Beweis

Wir betrachten die zum ${{}} K$-Algebra-Homomorphismus ${{}} \varphi \colon R \rightarrow R_f$ gehörende natürliche Abbildung

${{}} \varphi^* \colon K\!\!-\!\operatorname{Spek}\, (R_f) \longrightarrow K\!\!-\!\operatorname{Spek}\, (R) , \, P \longmapsto P \circ \varphi \, ,$

die nach Fakt stetig ist. Es ist ${{}} f( P \circ \varphi ) = P ( \varphi (f)) \neq 0$, da ja ${{}} f$ in ${{}} R_f$ eine Einheit wird. Daher liegt das Bild von ${{}} \varphi^*$ in ${{}} D(f)$.
Sei ${{}} Q \in D(f)$ irgendein Punkt, d.h. ${{}} Q$ ist ein ${{}} K$-Algebra-Homomorphismus ${{}} Q \colon R \rightarrow K$ mit ${{}} Q(f) \neq 0$. Dann ist ${{}} Q(f)$ eine Einheit und daher faktorisiert dieser Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme (siehe Aufgabe) durch ${{}} R_f$. Dieser Morphismus ist das gesuchte Urbild und daher ist ${{}} \varphi^*$ surjektiv.
Zur Injektivität seien zwei ${{}} K$-Algebra-Homomorphismen ${{}} P_1,P_2:R_f \rightarrow K$ gegeben, deren Verknüpfung mit ${{}} R \rightarrow R_f$ übereinstimmen. Wegen

${{}} P_1 \left( \frac{r}{f^s} \right) = P_1(r f^{-s}) = P_1(r) P_1(f^s)^{-1} \,$

und ebenso für ${{}} P_2$ ist dann aber ${{}} P_1=P_2$.
Zur Homöomorphie ist lediglich zu beachten, dass die Zariski-offenen Mengen von ${{}} K\!\!-\!\operatorname{Spek}\, (R_f)$ überdeckt werden von ${{}} D(g)$, ${{}} g \in R_f$. Dabei kann man ${{}} g \in R$ annehmen, da ${{}} f$ eine Einheit in ${{}} R_f$ ist. Dann ist aber dieses ${{}} D(g)$ gleich ${{}} (\varphi^*)^{-1} (D(gf))$, wo letzteres ${{}} D(gf)$ die offene Menge in ${{}} K\!\!-\!\operatorname{Spek}\, (R)$ bezeichnet.

$\Box$

Bemerkung  

Fakt besagt insbesondere, dass eine offene Menge ${{}} D(f) \subseteq K-\operatorname{Spek} \, (R)$ selbst das ${{}} K$-Spektrum einer endlich erzeugten ${{}} K$-Algebra ist (nämlich von ${{}} R_f$, das über ${{}} R$ von ${{}} 1/f$ erzeugt wird), und sich daher auch als Zariski-abgeschlossene Menge eines affinen Raumes realisieren lassen muss. Aus ${{}} R_f \cong R[T]/(Tf- 1)$ (siehe Aufgabe) erhält man eine solche Realisierung. Sei ${{}} R=K[X_1, \ldots, X_n]/\mathfrak a$. Dann liefert der surjektive Ringhomomorphismus

${{}} K[X_1, \ldots, X_n,T] \longrightarrow (K[X_1, \ldots, X_n]/ \mathfrak a)[T] \longrightarrow ((K[X_1, \ldots, X_n]/ \mathfrak a)[T])/(Tf-1) \cong R_f \,$

eine abgeschlossene Einbettung von ${{}} D(f)$ in ${{}} \mathbb A^{n+1}_K$. Ist ${{}} \psi$ die Gesamtinklusion

${{}} D(f) \subseteq K-\operatorname{Spek}\, (R) \subseteq \mathbb A^n_K \, ,$

so kann man die abgeschlossene Einbettung auch als

${{}} \psi \times \frac{1}{f} : D(f) \longrightarrow \mathbb A^n_K \times \mathbb A^1_K \,$

auffassen, wobei hier wieder das Produkt von Varietäten auftritt.

Beispiel

Betrachten wir in Anschluss an Bemerkung die offene Menge

${{}} D(X)= \{P \in \mathbb A_K^1: \, P \neq 0 \} \subset {\mathbb A}_K^1 \, .$

Diese offene Menge nennt man die punktierte affine Gerade. Auf dieser offenen Menge ist ${{}} X$ invertierbar, d.h. die rationale Funktion ${{}} \frac{1}{X}$ ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen (offenen) Inklusion ${{}} D(X) \subset \mathbb A^1_K$ die abgeschlossene Inklusion

${{}} D(X) \longrightarrow V(XY-1) \subset \mathbb A^2_K,\, x \longmapsto (x, \frac{1}{x} ) \, ,$

dessen Bild eine (in der affinen Ebene abgeschlossene) Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph (und die zugehörigen Ringe, nämlich ${{}} K[X]_{X} =K[X,X^{-1}]$ und ${{}} K[X,Y]/(XY-1)$, sind isomorph).