Kurs:Analysis/Teil I/30/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	1	1	2	4	2	4	4	6	2	1	4	3	4	4	2	3	4	5	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette

{}{\text{Pythagoras}}=c^{2}=a^{2}+b^{2}\,?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Der Energiebedarf (durch Nahrung) eines Menschen beträgt pro Tag etwa ${}12.000\,kJ$ (Kilojoule). Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa ${}3kWh$ pro ${}m^{2}$ ( ${}3$ Kilowattstunden pro Quadratmeter). Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass

{}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K$ , ${}b>1$ . Zeige, dass es dann Elemente ${}c,d>1$ mit ${}b=cd$ gibt.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ( ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ )

{}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,

derart an, dass ${}b_{n}-a_{n}$ eine Nullfolge ist, dass ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}I_{n}$ aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\mathrm {i} }z.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom ${}f$ von minimalem Grad mit

f(0)=0,\,f(1)=1,\,f(2)=3,\,f(3)=6.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ . Zeige

{}{\left(1-{\sqrt[{k}]{2}}\right)}\cdot {\left(1+{\sqrt[{k}]{2}}+{\sqrt[{k}]{2}}^{2}+\cdots +{\sqrt[{k}]{2}}^{k-2}+{\sqrt[{k}]{2}}^{k-1}\right)}=-1\,.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde für die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}-3x+1,

eine Nullstelle im Intervall ${}[-2,-1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/8$ .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ . Zeige, dass ${}f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ mit ${}a,b\in I$ die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von ${}f$ verläuft.