Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§2 Vollständigkeit

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] 2.1. Schranken

Sei M\subseteq \mathbb R , M\not=\emptyset

k\in\mathbb R heisst obere Schranke von M, wenn x \le k für alle x\in M gilt.
k\in\mathbb R heisst untere Schranke von M, wenn x \ge k für alle x\in M gilt.


Falls eine obere (untere) Schranke existiert, so heisst M nach oben (nach unten) beschränkt.

M heisst beschränkt, wenn M nach oben und nach unten beschränkt ist.

Beispiel
M=\{ x:\ x=\frac {1} {1+t},\ t>0 \}

M ist nach unten beschränkt, z.B. durch 0. M ist nach oben beschränkt, z.B. durch 1.

[Bearbeiten] 2.2. Vollständigkeitsaxiom

Jede nach oben beschränkte Menge M besitzt eine kleinste[größte] obere[untere] Schranke, das Supremum[Infimum] von M: sup M[inf M].

Bespiel (2.1): \sup M = 1 : 1 ist obere Schranke
Annahme: s = \sup M < 1, \ \ t = 1-s >0

Hier fehlt noch etwas ...

[Bearbeiten] 2.3. Größte untere Schranke

Ist M\subseteq R,\ M\neq \emptyset, nach unten beschränkt, dann existiert die größte untere Schranke von M, das Infimum von M (\inf M). Wenn inf M \in M, so heißt es Minimum (minM).


Beweis
Sei M = \lbrace -x:\ x\in M \rbrace nach oben beschränkt.
\sup M = -\inf M
zu zeigen
-\sup M ist die größte untere Schranke von M. (Übung)
Beispiel
M = \lbrace x^2 + \frac 1 {x^2} :\ x>0 \rbrace
Behauptung
\inf M = 2


x > 0:
x^2+ \frac 1 {x^2} - 2= (x- \frac 1 x )^2 \ge 0
\Rightarrow 2 ist eine untere Schranke


x = 1:
1^2+ \frac 1 {1^2} = 2 \ \in M
\Rightarrow 2 = \min M = \inf M .

[Bearbeiten] 2.4. Satz

[Bearbeiten] 2.5. Regeln für sup und inf

[Bearbeiten] 2.6. Archimedische Eigenschaft

[Bearbeiten] 2.7. Satz und Definition

[Bearbeiten] 2.8. Erweiterung von \R durch \infty , - \infty

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

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